Soal Asli:
Manakah di antara pernyataan berikut yang benar mengenai sifat bilangan real pada operasi perpangkatan?
- A. Untuk setiap bilangan real $a$ dan $b$, berlaku $(a+b)^n = a^n + b^n$.
- B. Jika $a > 0$ dan $n$ adalah bilangan bulat negatif, maka $a^n$ selalu bernilai negatif.
- C. Bilangan $a^{m/n}$ didefinisikan sebagai $\sqrt[m]{a^n}$ untuk $a \geq 0$.
- D. Hasil dari $a^0$ adalah 1 untuk setiap bilangan real $a$ kecuali $a = 0$.
- E. Perkalian dua bilangan berpangkat dengan basis berbeda namun eksponen sama mengikuti aturan $a^n \cdot b^n = (a+b)^n$.
Kunci: D
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Pilihan A salah karena $(a+b)^n$ tidak bisa langsung dipisah begitu saja, ada aturan penjabaran seperti binomial Newton.
- Pilihan B salah karena pangkat negatif itu artinya satu per bilangan tersebut, jadi hasilnya tetap positif kalau basisnya positif.
Contohnya: $2^{-1} = 1/2$.
- Pilihan C salah karena definisi yang benar adalah:
$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.
Jadi angka di bawah (penyebut) jadi akar, bukan angka di atas.
- Pilihan D benar karena semua angka (kecuali nol) kalau dipangkatkan nol hasilnya pasti $1$.
- Pilihan E salah karena aturan yang benar adalah:
$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Kesimpulan:
Sifat pangkat nol adalah aturan dasar di mana bilangan apa pun selain nol yang dipangkatkan $0$ akan menghasilkan $1$.
Soal Asli:
Seorang pedagang grosir mencatat transaksi harian menggunakan sifat-sifat operasi bilangan. Pada suatu hari, ia membeli 15 kotak masker dengan harga $x$ rupiah per kotak dan 15 kotak sarung tangan dengan harga $y$ rupiah per kotak. Ia menyadari bahwa total pengeluarannya dapat dihitung dengan dua cara: $15x + 15y$ atau $15(x + y)$. Berdasarkan narasi tersebut, manakah pernyataan yang benar?
- A. Pedagang tersebut menerapkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
- B. Penggunaan rumus $15(x + y)$ menunjukkan penerapan sifat asosiatif.
- C. Jika harga masker adalah Rp50.000 dan sarung tangan Rp30.000, totalnya adalah Rp1.200.000.
- D. Sifat komutatif menjamin bahwa $15x + 15y$ sama dengan $15y + 15x$.
- E. Operasi tersebut hanya berlaku jika $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif.
Kunci: A, C, D
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Pernyataan A benar karena mengubah $15x + 15y$ menjadi $15(x + y)$ adalah contoh nyata sifat distributif.
- Pernyataan B salah karena itu bukan sifat asosiatif (pengelompokan), melainkan distributif.
- Pernyataan C benar. Mari kita hitung:
$15 \cdot (50.000 + 30.000) = 15 \cdot 80.000 = 1.200.000$.
- Pernyataan D benar karena sifat komutatif artinya urutan penjumlahan tidak mengubah hasil, jadi $15x + 15y$ sama saja dengan $15y + 15x$.
- Pernyataan E salah karena sifat ini berlaku untuk semua jenis bilangan real, tidak harus bulat positif.
Kesimpulan:
Pedagang tersebut menggunakan sifat distributif dan komutatif untuk mempermudah hitungan total belanjanya.
Soal Asli:
Tiga buah bilangan $x, y,$ dan $z$ memenuhi sistem persamaan berikut:
$2x + y - z = 9$
$x + 2y + z = 6$
$3x - y + 2z = 17$
Nilai dari $x \cdot y \cdot z$ adalah ...
- A. -24
- B. 0
- C. 12
- D. 24
- E. 36
Kunci: B
Langkah-Langkah Penyelesaian (Metode Eliminasi & Substitusi):
- Jumlahkan persamaan 1 dan 2 untuk menghilangkan $z$:
$ (2x + y - z) + (x + 2y + z) = 9 + 6 $
$ 3x + 3y = 15 $
$ x + y = 5 $ (Sebut ini persamaan 4)
- Hilangkan $z$ lagi menggunakan persamaan 1 dan 3. Kalikan persamaan 1 dengan $2$:
$ 4x + 2y - 2z = 18 $
Lalu jumlahkan dengan persamaan 3:
$ (4x + 2y - 2z) + (3x - y + 2z) = 18 + 17 $
$ 7x + y = 35 $ (Sebut ini persamaan 5)
- Kurangi persamaan 5 dengan persamaan 4:
$ (7x + y) - (x + y) = 35 - 5 $
$ 6x = 30 \rightarrow x = 5 $
- Cari nilai $y$ menggunakan persamaan 4:
$ 5 + y = 5 \rightarrow y = 0 $
- Cari nilai $z$ menggunakan persamaan 2:
$ 5 + 2(0) + z = 6 \rightarrow 5 + z = 6 \rightarrow z = 1 $
- Hitung hasil kali $x, y, z$:
$ 5 \cdot 0 \cdot 1 = 0 $
Kesimpulan:
Karena salah satu variabelnya yaitu $y$ bernilai $0$, maka hasil perkalian ketiga bilangan tersebut otomatis menjadi $0$.
Soal Asli:
Sebuah perusahaan konveksi memproduksi tiga jenis pakaian: Kemeja ($x$), Kaos ($y$), dan Jaket ($z$). Kendala produksi harian dinyatakan dalam sistem pertidaksamaan linear berikut:
$x + y + z \leq 100$
$2x + y + 3z \leq 150$
$x \geq 20, y \geq 30, z \geq 10$
Manakah kombinasi produksi $(x, y, z)$ yang memenuhi kendala tersebut?
- A. (20, 40, 20)
- B. (30, 50, 10)
- C. (40, 30, 10)
- D. (25, 60, 15)
- E. (20, 30, 40)
Kunci: A, B, C
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Kita cek pilihan A (20, 40, 20):
$20 + 40 + 20 = 80$ (kurang dari $100$, OK).
$2(20) + 40 + 3(20) = 40 + 40 + 60 = 140$ (kurang dari $150$, OK).
Semua syarat minimal terpenuhi. Jadi A benar.
- Kita cek pilihan B (30, 50, 10):
$30 + 50 + 10 = 90$ (kurang dari $100$, OK).
$2(30) + 50 + 3(10) = 60 + 50 + 30 = 140$ (kurang dari $150$, OK).
Semua syarat minimal terpenuhi. Jadi B benar.
- Kita cek pilihan C (40, 30, 10):
$40 + 30 + 10 = 80$ (kurang dari $100$, OK).
$2(40) + 30 + 3(10) = 80 + 30 + 30 = 140$ (kurang dari $150$, OK).
Semua syarat minimal terpenuhi. Jadi C benar.
- Kita cek pilihan D (25, 60, 15):
$25 + 60 + 15 = 100$ (pas $100$, OK).
$2(25) + 60 + 3(15) = 50 + 60 + 45 = 155$ (lebih dari $150$, GAGAL).
- Kita cek pilihan E (20, 30, 40):
$20 + 30 + 40 = 90$ (kurang dari $100$, OK).
$2(20) + 30 + 3(40) = 40 + 30 + 120 = 190$ (lebih dari $150$, GAGAL).
Kesimpulan:
Hanya kombinasi A, B, dan C yang tidak melanggar batasan bahan baku dan kapasitas produksi perusahaan.
Soal Asli:
Seorang pengusaha furnitur ingin memaksimalkan keuntungan dari penjualan meja ($x$) dan kursi ($y$). Fungsi objektif keuntungan adalah $f(x, y) = 500.000x + 200.000y$. Kendala yang dihadapi adalah:
$x + y \leq 40$
$3x + y \leq 60$
$x \geq 0, y \geq 0$
Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah ...
- A. Rp8.000.000
- B. Rp10.000.000
- C. Rp11.000.000
- D. Rp13.000.000
- E. Rp15.000.000
Kunci: C
Langkah-Langkah Penyelesaian (Metode Titik Pojok):
- Cari titik potong kedua kendala dengan eliminasi:
$ (3x + y) - (x + y) = 60 - 40 $
$ 2x = 20 \rightarrow x = 10 $
$ 10 + y = 40 \rightarrow y = 30 $
Titik potongnya adalah $(10, 30)$.
- Cari titik potong sumbu dari kendala:
Kendala 1: $(40, 0)$ dan $(0, 40)$.
Kendala 2: $(20, 0)$ dan $(0, 60)$.
- Pilih titik pojok daerah penyelesaian (yang memenuhi semua kendala):
Titik-titiknya adalah $(0, 0)$, $(20, 0)$, $(0, 40)$, dan $(10, 30)$.
- Masukkan ke fungsi keuntungan:
Titik $(20, 0)$: $500.000(20) + 0 = 10.000.000$
Titik $(0, 40)$: $0 + 200.000(40) = 8.000.000$
Titik $(10, 30)$: $500.000(10) + 200.000(30) = 5.000.000 + 6.000.000 = 11.000.000$
Kesimpulan:
Keuntungan paling besar didapat jika pengusaha membuat $10$ meja dan $30$ kursi, yaitu sebesar Rp11.000.000.
Soal Asli:
Diketahui fungsi rasional $f(x) = \frac{2x - 4}{x + 3}$. Manakah pernyataan yang benar mengenai karakteristik grafik fungsi tersebut?
- A. Domain fungsi adalah $\{x | x \in \mathbb{R}, x \neq -3\}$.
- B. Range fungsi adalah $\{y | y \in \mathbb{R}, y \neq 2\}$.
- C. Grafik memotong sumbu X di titik (2, 0).
- D. Grafik memiliki asimtot tegak $x = 3$.
- E. Grafik memiliki asimtot datar $y = 2$.
Kunci: A, B, C, E
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Domain: Bagian bawah (penyebut) tidak boleh nol. Jadi $x + 3 \neq 0$, artinya $x \neq -3$. Pernyataan A benar.
- Range dan Asimtot Datar: Lihat angka di depan $x$. Di atas ada $2$, di bawah ada $1$. Jadi $2/1 = 2$. Asimtot datarnya $y = 2$, dan range-nya $y \neq 2$. Pernyataan B dan E benar.
- Potong Sumbu X: Terjadi saat bagian atas (pembilang) sama dengan nol.
$2x - 4 = 0 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2$.
Titiknya $(2, 0)$. Pernyataan C benar.
- Asimtot Tegak: Terjadi saat penyebut nol, yaitu $x = -3$. Pernyataan D salah karena tertulis $x = 3$.
Kesimpulan:
Grafik ini memiliki batasan di $x = -3$ dan $y = 2$, serta melewati titik $(2, 0)$.
Soal Asli:
Dalam sebuah eksperimen fisika, hubungan antara suhu dalam Celcius ($C$) dan Fahrenheit ($F$) dinyatakan dengan fungsi $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Jika seorang peneliti ingin mencari fungsi untuk mengubah Fahrenheit kembali ke Celcius, maka invers dari fungsi tersebut adalah ...
- A. $C(F) = \frac{5}{9}(F - 32)$
- B. $C(F) = \frac{5}{9}F - 32$
- C. $C(F) = \frac{9}{5}(F + 32)$
- D. $C(F) = \frac{5}{9}F + 32$
- E. $C(F) = \frac{9}{5}F - 32$
Kunci: A
Langkah-Langkah Penyelesaian (Step-by-Step):
- Pindahkan angka $32$ ke ruas kiri:
$ F - 32 = \frac{9}{5}C $
- Untuk menyendirikan $C$, kalikan kedua ruas dengan kebalikan dari $9/5$, yaitu $5/9$:
$ \frac{5}{9}(F - 32) = C $
Kesimpulan:
Fungsi untuk mengubah suhu dari Fahrenheit ke Celcius adalah dengan mengurangi $32$ dulu, baru dikalikan dengan $5/9$.
Soal Asli:
Diberikan dua fungsi $f(x) = x^2 - 3$ dan $g(x) = 2x + 1$. Manakah pernyataan berikut yang benar terkait komposisi fungsi tersebut?
- A. $(f \circ g)(x) = 4x^2 + 4x - 2$
- B. $(g \circ f)(x) = 2x^2 - 5$
- C. Nilai dari $(f \circ g)(1) = 6$
- D. Nilai dari $(g \circ f)(2) = 3$
- E. Domain dari $(f \circ g)(x)$ adalah seluruh bilangan real.
Kunci: A, B, C, D, E
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Hitung $(f \circ g)(x)$: Masukkan $g$ ke dalam $f$.
$ (2x+1)^2 - 3 = (4x^2 + 4x + 1) - 3 = 4x^2 + 4x - 2 $ (A benar).
- Hitung $(g \circ f)(x)$: Masukkan $f$ ke dalam $g$.
$ 2(x^2 - 3) + 1 = 2x^2 - 6 + 1 = 2x^2 - 5 $ (B benar).
- Cek nilai $(f \circ g)(1)$:
$ 4(1)^2 + 4(1) - 2 = 4 + 4 - 2 = 6 $ (C benar).
- Cek nilai $(g \circ f)(2)$:
$ 2(2)^2 - 5 = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3 $ (D benar).
- Karena ini fungsi kuadrat biasa, tidak ada larangan angka masuk, jadi domainnya semua bilangan real (E benar).
Kesimpulan:
Semua pernyataan tentang penggabungan fungsi $f$ dan $g$ tersebut adalah benar secara matematis.
Soal Asli:
Seorang karyawan menabung di bank dengan selisih kenaikan nominal tabungan antar bulan yang tetap. Pada bulan ke-3 ia menabung sebesar Rp150.000, dan pada bulan ke-8 ia menabung sebesar Rp250.000. Total tabungan karyawan tersebut selama satu tahun pertama adalah ...
- A. Rp2.400.000
- B. Rp2.520.000
- C. Rp2.640.000
- D. Rp2.700.000
- E. Rp3.000.000
Kunci: C
Langkah-Langkah Penyelesaian (Barisan & Deret Aritmetika):
- Cari beda ($b$) tabungan tiap bulan:
$ U_8 - U_3 = (a + 7b) - (a + 2b) $
$ 250.000 - 150.000 = 5b $
$ 100.000 = 5b \rightarrow b = 20.000 $
- Cari tabungan bulan pertama ($a$):
$ a + 2(20.000) = 150.000 $
$ a + 40.000 = 150.000 \rightarrow a = 110.000 $
- Hitung total tabungan $12$ bulan ($S_{12}$):
$ S_{12} = \frac{12}{2} (2 \cdot 110.000 + 11 \cdot 20.000) $
$ S_{12} = 6 (220.000 + 220.000) $
$ S_{12} = 6 (440.000) = 2.640.000 $
Kesimpulan:
Total uang yang dikumpulkan karyawan tersebut selama setahun adalah Rp2.640.000.
Soal Asli:
Sebuah modal sebesar Rp10.000.000 diinvestasikan dengan bunga majemuk 10% per tahun. Manakah pernyataan yang benar mengenai pertumbuhan modal tersebut?
- A. Saldo pada akhir tahun ke-2 adalah Rp12.100.000.
- B. Pertumbuhan modal ini mengikuti pola barisan geometri.
- C. Bunga yang diperoleh pada tahun kedua sama dengan bunga pada tahun pertama.
- D. Rumus saldo setelah $n$ tahun adalah $M_n = 10^7(1,1)^n$.
- E. Setelah 3 tahun, total bunga yang diperoleh lebih dari Rp3.000.000.
Kunci: A, B, D, E
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Bunga majemuk itu seperti bunga berbunga, jadi polanya perkalian tetap (geometri). Pernyataan B benar.
- Rumus umumnya $M_n = M_0(1 + i)^n$. Dengan bunga $10\%$ ($0,1$), rumusnya jadi
$10^7(1,1)^n$.
Pernyataan D benar.
- Akhir tahun ke-2:
$10.000.000 \cdot (1,1)^2 = 10.000.000 \cdot 1,21 = 12.100.000$.
Pernyataan A benar.
- Bunga tahun pertama itu $1$ juta, bunga tahun kedua itu $1,1$ juta. Jadi bunganya tidak sama. Pernyataan C salah.
- Akhir tahun ke-3:
$10.000.000 \cdot (1,1)^3 = 13.310.000$.
Total bunganya $3.310.000$, yang berarti lebih dari $3$ juta. Pernyataan E benar.
Kesimpulan:
Investasi dengan bunga majemuk akan tumbuh semakin cepat setiap tahunnya karena bunga dihitung dari saldo terakhir.
Soal Asli:
Dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis transversal. Jika salah satu sudut dalam berseberangan besarnya adalah $3x - 10^\circ$ dan sudut lainnya adalah $2x + 20^\circ$, maka nilai $x$ adalah ...
- A. 10
- B. 20
- C. 30
- D. 40
- E. 50
Kunci: C
Langkah-Langkah Penyelesaian (Step-by-Step):
- Buat persamaan karena kedua sudut dalam berseberangan besarnya sama:
$ 3x - 10 = 2x + 20 $
- Pindahkan $2x$ ke kiri dan $-10$ ke kanan:
$ 3x - 2x = 20 + 10 $
$ x = 30 $
Kesimpulan:
Nilai $x$ yang memenuhi agar kedua sudut tersebut sama besar adalah $30$.
Soal Asli:
Dalam sebuah kubus $ABCD.EFGH$, manakah pernyataan yang benar mengenai hubungan antar objek geometri di dalamnya?
- A. Garis $AB$ sejajar dengan garis $HG$.
- B. Garis $AC$ tegak lurus dengan garis $BD$.
- C. Bidang $ABCD$ sejajar dengan bidang $EFGH$.
- D. Garis $AE$ berpotongan dengan garis $BC$.
- E. Jarak titik $A$ ke bidang $BCGF$ adalah panjang rusuk kubus.
Kunci: A, B, C, E
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Garis $AB$ dan $HG$ sama-sama mendatar dan searah, jadi mereka sejajar. (A benar).
- $AC$ dan $BD$ adalah diagonal sisi pada alas persegi. Di persegi, diagonal selalu berpotongan tegak lurus. (B benar).
- Bidang alas ($ABCD$) dan bidang tutup ($EFGH$) posisinya berhadapan dan tidak akan pernah bertemu, jadi sejajar. (C benar).
- $AE$ itu tiang tegak, $BC$ itu garis di alas yang arahnya berbeda. Mereka tidak bertemu, namanya bersilangan, bukan berpotongan. (D salah).
- Titik $A$ ke dinding samping $BCGF$ jaraknya adalah garis lurus $AB$, yang merupakan rusuk kubus. (E benar).
Kesimpulan:
Sifat-sifat dasar kubus meliputi garis sejajar, bidang sejajar, dan diagonal yang tegak lurus.
Soal Asli:
Sebuah tiang bendera setinggi 6 meter memiliki bayangan sepanjang 4 meter. Pada saat yang sama, sebuah gedung memiliki bayangan sepanjang 24 meter. Tinggi gedung tersebut adalah ...
- A. 16 meter
- B. 24 meter
- C. 32 meter
- D. 36 meter
- E. 48 meter
Kunci: D
Langkah-Langkah Penyelesaian (Perbandingan Kesebangunan):
- Masukkan angka ke rumus perbandingan:
$ \frac{6}{4} = \frac{t_2}{24} $
- Sederhanakan $6/4$ menjadi $1,5$:
$ 1,5 = \frac{t_2}{24} $
- Kalikan silang untuk mencari $t_2$:
$ t_2 = 1,5 \cdot 24 $
$ t_2 = 36 $
Kesimpulan:
Dengan menggunakan perbandingan bayangan, kita tahu bahwa tinggi gedung tersebut adalah $36$ meter.
Soal Asli:
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke arah Timur sejauh 80 km menuju pelabuhan B. Dari pelabuhan B, kapal berbelok ke arah Utara sejauh 60 km menuju pelabuhan C. Berdasarkan prinsip Teorema Pythagoras, manakah pernyataan yang benar?
- A. Jarak terpendek dari pelabuhan A ke pelabuhan C adalah 100 km.
- B. Lintasan kapal membentuk segitiga siku-siku di titik B.
- C. Jika kapal melanjutkan ke arah Barat sejauh 80 km, jaraknya ke A menjadi 60 km.
- D. Luas daerah yang dibatasi lintasan A-B-C-A adalah 2.400 $km^2$.
- E. Sudut yang terbentuk di pelabuhan A adalah $45^\circ$.
Kunci: A, B, C, D
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Timur dan Utara itu tegak lurus, jadi membentuk siku-siku di B. (B benar).
- Jarak A ke C (sisi miring):
$ \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 $ km. (A benar).
- Kalau dari C (Utara) balik ke Barat $80$ km, posisinya tepat di atas A sejauh $60$ km. (C benar).
- Luas segitiga:
$1/2 \cdot alas \cdot tinggi = 1/2 \cdot 80 \cdot 60 = 2400$ km$^2$. (D benar).
- Sudut di A bukan $45^\circ$ karena alas dan tingginya tidak sama panjang ($80$ vs $60$). (E salah).
Kesimpulan:
Perjalanan kapal ini membentuk segitiga siku-siku sempurna dengan perbandingan sisi $3:4:5$.
Soal Asli:
Titik $P(3, -2)$ direfleksikan terhadap garis $y = x$, kemudian dilanjutkan dengan translasi oleh $T = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$. Koordinat bayangan akhir titik $P$ adalah ...
- A. (0, 7)
- B. (4, 1)
- C. (0, 1)
- D. (-2, 3)
- E. (0, 5)
Kunci: A
Langkah-Langkah Penyelesaian (Step-by-Step):
- Refleksi terhadap $y = x$: Tukar posisi $x$ dan $y$.
$ (3, -2) \rightarrow (-2, 3) $
- Translasi oleh $(2, 4)$: Tambahkan masing-masing koordinat.
$ x' = -2 + 2 = 0 $
$ y' = 3 + 4 = 7 $
Kesimpulan:
Setelah diputar posisinya dan digeser, titik $P$ akhirnya berada di koordinat $(0, 7)$.
Soal Asli:
Sebuah taman berbentuk gabungan persegi panjang berukuran $10 m \times 8 m$ dan setengah lingkaran yang menempel pada sisi panjangnya ($d = 10 m$). Manakah pernyataan yang benar terkait pengukuran taman tersebut? (Gunakan $\pi \approx 3,14$)
- A. Luas bagian persegi panjang adalah $80 m^2$.
- B. Luas bagian setengah lingkaran adalah $39,25 m^2$.
- C. Keliling total taman melibatkan tiga sisi persegi panjang dan satu busur lingkaran.
- D. Luas total taman adalah $119,25 m^2$.
- E. Keliling total taman adalah $26 + 5\pi$ meter.
Kunci: A, B, C, D, E
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Luas persegi panjang:
$10 \cdot 8 = 80$ m$^2$. (A benar).
- Luas setengah lingkaran: $1/2 \cdot \pi \cdot r^2$. Karena diameter $10$, maka jari-jari $r = 5$.
$ 1/2 \cdot 3,14 \cdot 5^2 = 1/2 \cdot 3,14 \cdot 25 = 39,25 $ m$^2$. (B benar).
- Luas total:
$80 + 39,25 = 119,25$ m$^2$. (D benar).
- Keliling: Sisi yang di luar saja. Tiga sisi persegi panjang ($8+10+8 = 26$) ditambah lengkungan setengah lingkaran ($1/2 \cdot \pi \cdot d = 1/2 \cdot \pi \cdot 10 = 5\pi$). Jadi
$26 + 5\pi$. (C dan E benar).
Kesimpulan:
Semua perhitungan luas dan keliling untuk taman gabungan tersebut sudah tepat.
Soal Asli:
Sebuah tangki air berbentuk silinder (tabung) memiliki jari-jari alas 70 cm dan tinggi 2 meter. Jika tangki tersebut diisi air hingga penuh, volume air dalam tangki adalah ... ($1 m^3 = 1.000$ liter, $\pi = \frac{22}{7}$)
- A. 3.080 liter
- B. 308 liter
- C. 30.800 liter
- D. 1.540 liter
- E. 15.400 liter
Kunci: A
Langkah-Langkah Penyelesaian (Step-by-Step):
- Hitung volume dalam satuan meter kubik ($r = 0,7$ m, $h = 2$ m):
$ V = \pi \cdot r^2 \cdot h $
$ V = \frac{22}{7} \cdot 0,7 \cdot 0,7 \cdot 2 $
$ V = 22 \cdot 0,1 \cdot 0,7 \cdot 2 $
$ V = 2,2 \cdot 1,4 = 3,08 $ m$^3$
- Ubah ke liter (dikali $1.000$):
$ 3,08 \cdot 1.000 = 3.080 $ liter
Kesimpulan:
Tangki tersebut mampu menampung air sebanyak $3.080$ liter jika diisi sampai penuh.
Soal Asli:
Diketahui kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk 6 cm. Manakah pernyataan yang benar mengenai jarak antar objek dalam kubus tersebut?
- A. Jarak titik $P$ ke titik $R$ adalah $6\sqrt{2}$ cm.
- B. Jarak titik $P$ ke titik $V$ adalah $6\sqrt{3}$ cm.
- C. Jarak titik $T$ ke garis $PV$ adalah $2\sqrt{6}$ cm.
- D. Jarak bidang $PQRS$ ke bidang $TUVW$ adalah 6 cm.
- E. Jarak titik $S$ ke garis $QU$ adalah $3\sqrt{2}$ cm.
Kunci: A, B, C, D
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- $P$ ke $R$ adalah diagonal sisi:
$s\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. (A benar).
- $P$ ke $V$ adalah diagonal ruang:
$s\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$. (B benar).
- Jarak titik ke diagonal ruang terjauh:
$\frac{s}{3}\sqrt{6} = \frac{6}{3}\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$. (C benar).
- Bidang bawah ke bidang atas jaraknya setinggi rusuk, yaitu $6$ cm. (D benar).
- Jarak $S$ ke $QU$ (diagonal ruang) seharusnya sama dengan poin C, yaitu $2\sqrt{6}$, bukan $3\sqrt{2}$. (E salah).
Kesimpulan:
Sebagian besar pernyataan menggunakan rumus cepat diagonal pada kubus dengan rusuk $6$ cm.
Soal Asli:
Pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$ dengan siku-siku di $B$, diketahui $\sin A = \frac{3}{5}$. Nilai dari $\tan C$ adalah ...
- A. $\frac{3}{4}$
- B. $\frac{4}{3}$
- C. $\frac{3}{5}$
- D. $\frac{4}{5}$
- E. $\frac{5}{4}$
Kunci: B
Langkah-Langkah Penyelesaian (Step-by-Step):
- Dari $\sin A = 3/5$, kita tahu sisi depan $A$ (yaitu $BC$) = $3$ dan sisi miring ($AC$) = $5$.
- Cari sisi samping $A$ (yaitu $AB$) pakai Pythagoras:
$ AB = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $
- Sekarang lihat dari sudut $C$.
Sisi depan $C$ adalah $AB = 4$.
Sisi samping $C$ adalah $BC = 3$.
- Hitung $\tan C$ (depan/samping):
$ \tan C = \frac{4}{3} $
Kesimpulan:
Nilai perbandingan tan untuk sudut $C$ adalah $4/3$.
Soal Asli:
Seorang pengamat berdiri 20 meter dari kaki sebuah menara. Ia melihat puncak menara dengan sudut elevasi $60^\circ$. Jika tinggi pengamat diabaikan, manakah pernyataan yang benar?
- A. Tinggi menara adalah $20\sqrt{3}$ meter.
- B. Jarak pandang pengamat ke puncak menara adalah 40 meter.
- C. Nilai perbandingan sinus sudut elevasi adalah $\frac{1}{2}\sqrt{3}$.
- D. Jika pengamat menjauh, sudut elevasi akan mengecil.
- E. Tinggi menara kurang dari 30 meter.
Kunci: A, B, C, D
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Pakai $\tan 60^\circ = \text{tinggi} / 20$. Karena $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, maka
$\text{tinggi} = 20\sqrt{3}$. (A benar).
- Jarak pandang (miring): pakai $\cos 60^\circ = 20 / \text{miring}$. Karena $\cos 60^\circ = 1/2$, maka miring $= 40$. (B benar).
- Nilai $\sin 60^\circ$ memang $\frac{1}{2}\sqrt{3}$. (C benar).
- Logikanya, makin jauh kita dari benda, kita makin sedikit mendongak, jadi sudutnya mengecil. (D benar).
- $20\sqrt{3}$ itu sekitar
$20 \cdot 1,73 = 34,6$ meter.
Jadi pernyataan E salah karena tingginya lebih dari $30$ meter.
Kesimpulan:
Tinggi menara dan jarak pandang dapat dihitung dengan perbandingan trigonometri sudut istimewa $60^\circ$.
Soal Asli:
Perhatikan tabel distribusi frekuensi nilai ujian matematika berikut:
Banyaknya siswa yang memperoleh nilai lebih dari 80 adalah ...
- A. 12
- B. 15
- C. 17
- D. 20
- E. 27
Kunci: C
Langkah-Langkah Penyelesaian (Step-by-Step):
- Cari kelompok nilai yang angkanya di atas $80$.
- Kelompok pertama: $81-90$ dengan frekuensi $12$.
- Kelompok kedua: $91-100$ dengan frekuensi $5$.
- Jumlahkan keduanya:
$ 12 + 5 = 17 $
Kesimpulan:
Ada $17$ siswa yang berhasil mendapatkan nilai di atas $80$.
Soal Asli:
Data nilai sekelompok siswa adalah: 7, 8, 6, 9, 7, 10, 8. Manakah pernyataan yang benar mengenai ukuran pemusatan data tersebut?
- A. Mean (rata-rata) data tersebut adalah 7,86.
- B. Median data tersebut adalah 8.
- C. Modus data tersebut adalah 7 dan 8.
- D. Jangkauan (range) data adalah 4.
- E. Jika setiap data ditambah 2, maka rata-ratanya menjadi 9,86.
Kunci: A, B, C, D, E
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Urutkan data: $6, 7, 7, 8, 8, 9, 10$.
- Mean:
$(6+7+7+8+8+9+10) / 7 = 55 / 7 \approx 7,86$. (A benar).
- Median: Nilai tengah setelah diurutkan adalah $8$. (B benar).
- Modus: Angka $7$ dan $8$ sama-sama muncul dua kali. (C benar).
- Jangkauan:
$10 - 6 = 4$. (D benar).
- Sifat rata-rata: Kalau semua data ditambah $2$, rata-rata lama juga ditambah $2$.
$7,86 + 2 = 9,86$. (E benar).
Kesimpulan:
Semua analisis statistik untuk data nilai siswa tersebut adalah benar.
Soal Asli:
Diberikan data tunggal: 4, 5, 6, 7, 8. Varians (ragam) dari data tersebut adalah ...
- A. 1
- B. 2
- C. 2,5
- D. 4
- E. 10
Kunci: B
Langkah-Langkah Penyelesaian (Step-by-Step):
- Cari rata-rata ($\bar{x}$):
$ (4+5+6+7+8) / 5 = 30 / 5 = 6 $
- Cari selisih kuadrat tiap data dengan rata-rata:
$ (4-6)^2 = 4 $
$ (5-6)^2 = 1 $
$ (6-6)^2 = 0 $
$ (7-6)^2 = 1 $
$ (8-6)^2 = 4 $
- Jumlahkan semua hasil kuadrat:
$ 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 $
- Bagi dengan jumlah data ($n=5$):
$ 10 / 5 = 2 $
Kesimpulan:
Tingkat penyebaran data atau varians dari kumpulan angka tersebut adalah $2$.
Soal Asli:
Dalam sebuah organisasi yang terdiri dari 5 orang pria dan 4 orang wanita, akan dibentuk tim yang terdiri dari 3 orang. Manakah pernyataan yang benar mengenai aturan pencacahan ini?
- A. Banyak cara memilih tim tanpa syarat adalah 84 cara.
- B. Banyak cara memilih tim yang terdiri dari 2 pria dan 1 wanita adalah 40 cara.
- C. Banyak cara memilih tim yang semuanya pria adalah 10 cara.
- D. Jika tim harus terdiri dari setidaknya 2 wanita, terdapat 34 cara.
- E. Pemilihan ini menggunakan konsep kombinasi karena urutan tidak diperhatikan.
Kunci: A, B, C, D, E
Penjelasan Sederhana (Step-by-Step):
- Total orang ada $9$. Pilih $3$:
$C(9,3) = (9 \cdot 8 \cdot 7) / (3 \cdot 2 \cdot 1) = 84$. (A benar).
- $2$ pria ($C(5,2)=10$) dan $1$ wanita ($C(4,1)=4$):
$10 \cdot 4 = 40$. (B benar).
- Semua pria ($3$ dari $5$):
$C(5,3) = 10$. (C benar).
- Setidaknya $2$ wanita:
(2W, 1P) = $C(4,2) \cdot C(5,1) = 6 \cdot 5 = 30$.
(3W, 0P) = $C(4,3) \cdot C(5,0) = 4 \cdot 1 = 4$.
Total $30 + 4 = 34$. (D benar).
- Karena hanya memilih tim (urutan tidak penting), maka pakai Kombinasi. (E benar).
Kesimpulan:
Semua perhitungan cara pemilihan anggota tim tersebut sudah sesuai dengan aturan kombinasi.
Soal Asli:
Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 7 atau 10 adalah ...
- A. $\frac{1}{4}$
- B. $\frac{1}{6}$
- C. $\frac{1}{9}$
- D. $\frac{5}{36}$
- E. $\frac{1}{12}$
Kunci: A
Langkah-Langkah Penyelesaian (Step-by-Step):
- Cari kejadian jumlah $7$: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$. Ada $6$ cara.
- Cari kejadian jumlah $10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$. Ada $3$ cara.
- Total kejadian yang diinginkan:
$ 6 + 3 = 9 $
- Hitung peluang:
$ P = \frac{9}{36} $
- Sederhanakan:
$ P = \frac{1}{4} $
Kesimpulan:
Peluang untuk mendapatkan jumlah mata dadu $7$ atau $10$ adalah $1$ banding $4$.