Sebuah laboratorium penelitian mengamati pertumbuhan populasi bakteri yang mengikuti fungsi eksponensial. Massa awal bakteri adalah 32 gram. Setelah $t$ jam, massa bakteri $M(t)$ dinyatakan dengan fungsi di bawah ini. Berapakah massa bakteri tersebut setelah 7,5 jam?
$$ M(t) = 32 \cdot 2^{\frac{2}{5}t} $$
Jawaban Cepat: 256 gram
Diketahui:
- Massa awal: 32 gram
- Fungsi massa: $M(t) = 32 \cdot 2^{\frac{2}{5}t}$
- Waktu ($t$): 7,5 jam
Ditanyakan:
Massa bakteri setelah 7,5 jam ($M(7,5)$)
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Masukkan nilai $t = 7,5$ ke dalam fungsi eksponensial.
$$ M(7,5) = 32 \cdot 2^{\frac{2}{5} \cdot 7,5} $$
- Hitung bagian pangkatnya terlebih dahulu (2 dibagi 5 dikali 7,5).
$$ \frac{2}{5} \cdot 7,5 = 0,4 \cdot 7,5 = 3 $$
- Sekarang hitung nilai eksponennya, yaitu 2 pangkat 3.
$$ 2^{3} = 8 $$
- Terakhir, kalikan massa awal dengan hasil pangkat tadi.
$$ M(7,5) = 32 \cdot 8 = 256 $$
Kesimpulan: Jadi, setelah menunggu selama 7,5 jam, massa bakteri di laboratorium tersebut akan menjadi 256 gram.
Tiga orang sahabat, Andi, Budi, dan Citra, membeli paket alat tulis di toko yang sama. Detail pembelian mereka adalah sebagai berikut:
Berdasarkan data tersebut, manakah pernyataan yang benar terkait harga satuan alat tulis?
A. Harga satu buku tulis adalah Rp4.000,00.
B. Harga satu pensil adalah Rp2.000,00.
C. Harga satu penghapus adalah Rp1.000,00.
D. Harga dua buku tulis dan satu pensil adalah Rp10.000,00.
E. Harga satu pensil dan dua penghapus adalah Rp5.000,00.
Jawaban Cepat: Pernyataan A, B, C, dan D benar.
Diketahui (Model Matematika):
Misal $x$ = buku, $y$ = pensil, $z$ = penghapus.
- Andi: $3x + 2y + z = 17.000$
- Budi: $2x + y + 2z = 12.000$
- Citra: $x + 3y + 2z = 12.000$
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Kurangi persamaan Budi dan Citra untuk mencari hubungan $x$ dan $y$.
$$ (2x + y + 2z) - (x + 3y + 2z) = 12.000 - 12.000 $$
$$ x - 2y = 0 \rightarrow x = 2y $$
- Masukkan $x = 2y$ ke persamaan Andi dan Budi.
$$ \text{Andi: } 3(2y) + 2y + z = 17.000 \rightarrow 8y + z = 17.000 $$
$$ \text{Budi: } 2(2y) + y + 2z = 12.000 \rightarrow 5y + 2z = 12.000 $$
- Eliminasi $z$ dari dua persamaan baru tersebut (persamaan Andi dikalikan 2).
$$ (16y + 2z) - (5y + 2z) = 34.000 - 12.000 $$
$$ 11y = 22.000 \rightarrow y = 2.000 $$
- Cari nilai $x$ dan $z$.
$$ x = 2(2.000) = 4.000 $$
$$ 8(2.000) + z = 17.000 \rightarrow 16.000 + z = 17.000 \rightarrow z = 1.000 $$
- Cek masing-masing pernyataan:
- A. Buku 4.000 (Benar)
- B. Pensil 2.000 (Benar)
- C. Penghapus 1.000 (Benar)
- D. $2(4.000) + 2.000 = 10.000$ (Benar)
- E. $2.000 + 2(1.000) = 4.000$ (Salah, di soal tertulis 5.000)
Kesimpulan: Harga satu buku adalah Rp4.000, pensil Rp2.000, dan penghapus Rp1.000. Pilihan A, B, C, dan D terbukti benar.
Sebuah UMKM memproduksi dua jenis produk, A dan B. Keuntungan produk A adalah Rp5.000,00 dan produk B adalah Rp8.000,00. Kendala produksi dinyatakan dalam sistem pertidaksamaan berikut: $x + y \le 50$; $2x + y \le 80$; $x \ge 0, y \ge 0$. Tentukan kategori kebenaran pernyataan berikut:
- Titik potong antara garis $x + y = 50$ dan $2x + y = 80$ adalah $(30, 20)$.
- Keuntungan maksimum akan diperoleh jika UMKM hanya memproduksi produk A sebanyak 40 unit.
- Jika UMKM memproduksi 20 unit produk A dan 30 unit produk B, maka kendala produksi masih terpenuhi.
Jawaban: 1 (Benar), 2 (Salah), 3 (Benar)
Penjelasan Sederhana:
- Untuk pernyataan 1: Kurangi persamaan kedua dengan pertama: $(2x + y) - (x + y) = 80 - 50$, maka $x = 30$. Jika $x = 30$, disubstitusi menjadi $30 + y = 50$, sehingga $y = 20$. Titik potongnya $(30, 20)$. (Benar)
- Untuk pernyataan 2: Keuntungan di titik $(40, 0)$ adalah $40 \cdot 5.000 = 200.000$. Tapi jika memproduksi di titik $(0, 50)$, keuntungannya $50 \cdot 8.000 = 400.000$. Memproduksi hanya A bukan profit optimal. (Salah)
- Untuk pernyataan 3: Cek titik $(20, 30)$ ke dalam fungsi kendala. $20 + 30 = 50$ (memenuhi) dan $2(20) + 30 = 70$ (kurang dari 80, memenuhi). (Benar)
Kesimpulan: Pernyataan 1 dan 3 benar, sedangkan pernyataan 2 salah karena mengabaikan potensi keuntungan produk B yang lebih tinggi.
Diketahui fungsi rasional $f(x)$ dengan domain $\{x \mid x \in \mathbb{R}, x \neq -3\}$. Berapakah nilai dari $f^{-1}(2)$?
$$ f(x) = \frac{4x - 2}{x + 3} $$
Jawaban Cepat: 4
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Konsep dasar: Jika $f(x) = y$, maka $f^{-1}(y) = x$. Buat persamaan di mana hasil fungsinya adalah 2.
$$ \frac{4x - 2}{x + 3} = 2 $$
- Kalikan silang penyebutnya ke sisi kanan.
$$ 4x - 2 = 2(x + 3) $$
- Jabarkan perkalian di sisi kanan.
$$ 4x - 2 = 2x + 6 $$
- Pindahkan variabel $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lainnya.
$$ 4x - 2x = 6 + 2 $$
$$ 2x = 8 $$
- Bagi dengan 2 untuk mendapatkan nilai $x$.
$$ x = 4 $$
Kesimpulan: Nilai dari fungsi invers $f$ untuk angka 2 adalah 4.
Diberikan dua buah fungsi $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ dan $g(x) = x - 2$. Manakah di antara pernyataan berikut yang benar mengenai komposisi fungsi tersebut?
A. $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 11x + 15$
B. $(g \circ f)(x) = 2x^2 - 3x - 1$
C. Nilai $(f \circ g)(1) = 6$
D. Nilai $(g \circ f)(2) = 1$
E. Grafik fungsi $(g \circ f)(x)$ memotong sumbu $y$ di titik $(0, -1)$.
Jawaban Cepat: Semua pernyataan (A, B, C, D, E) benar.
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Hitung $(f \circ g)(x)$: Masukkan $x-2$ ke dalam $f(x)$.
$$ 2(x-2)^2 - 3(x-2) + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) - 3x + 6 + 1 = 2x^2 - 8x + 8 - 3x + 7 = 2x^2 - 11x + 15 $$
(Pernyataan A Benar)
- Hitung $(g \circ f)(x)$: Masukkan $f(x)$ ke dalam $g(x)$.
$$ (2x^2 - 3x + 1) - 2 = 2x^2 - 3x - 1 $$
(Pernyataan B Benar)
- Cek nilai $(f \circ g)(1)$: Masukkan $x=1$ ke hasil langkah 1.
$$ 2(1)^2 - 11(1) + 15 = 2 - 11 + 15 = 6 $$
(Pernyataan C Benar)
- Cek nilai $(g \circ f)(2)$: Masukkan $x=2$ ke hasil langkah 2.
$$ 2(2)^2 - 3(2) - 1 = 8 - 6 - 1 = 1 $$
(Pernyataan D Benar)
- Titik potong sumbu $y$: Masukkan $x=0$ ke fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$.
$$ 2(0)^2 - 3(0) - 1 = -1 $$
Titiknya adalah $(0, -1)$. (Pernyataan E Benar)
Sebuah perusahaan logistik mencatat bahwa biaya operasional bulanan mengikuti barisan aritmetika. Pada bulan ke-3 biaya operasional adalah Rp15.000.000,00 dan pada bulan ke-7 adalah Rp23.000.000,00. Apakah pernyataan berikut sesuai dengan kondisi keuangan perusahaan tersebut?
- Kenaikan biaya operasional setiap bulannya adalah Rp2.000.000,00.
- Biaya operasional pada bulan pertama adalah Rp11.000.000,00.
- Total biaya operasional selama 10 bulan pertama adalah Rp200.000.000,00.
Jawaban: Ya (Semua sesuai)
Penjelasan Sederhana:
- Cari bedanya (*b*) lebih dulu. Selisih biaya bulan ke-7 dan ke-3 adalah 23 juta dikurang 15 juta, yaitu 8 juta. Karena rentang waktunya 4 bulan (7-3), maka kenaikan per bulan adalah 8 juta dibagi 4, yaitu 2 juta. (Pernyataan 1 Ya).
- Mencari biaya bulan pertama (*a*). Mundur dari bulan ke-3. Bulan ke-3 adalah 15 juta. Mundur 2 bulan berarti dikurangi 4 juta: $15 - (2 \cdot 2) = 11$ juta. (Pernyataan 2 Ya).
- Menghitung total 10 bulan ($S_{10}$). Cari dulu bulan ke-10: $11 + (9 \cdot 2) = 29$ juta. Rata-rata bulan pertama dan ke-10 adalah $(11 + 29) / 2 = 20$ juta. Total = 20 juta dikalikan 10 bulan = 200 juta. (Pernyataan 3 Ya).
Seorang petani menanam pohon jati yang pertumbuhannya mengikuti deret geometri. Jika tinggi pohon pada tahun kedua adalah 1,2 meter dan pada tahun keempat adalah 2,7 meter, maka rasio pertumbuhan tahunan pohon tersebut adalah...
Jawaban Cepat: 1,5
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Bandingkan tinggi tahun ke-4 dengan tahun ke-2 menggunakan rumus barisan geometri.
$$ \frac{U_4}{U_2} = r^{4-2} = r^2 $$
- Substitusikan nilai yang diketahui.
$$ r^2 = \frac{2,7}{1,2} $$
- Sederhanakan pembagian tersebut.
$$ r^2 = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} = 2,25 $$
- Cari akar kuadrat dari 2,25 untuk mendapatkan nilai $r$.
$$ r = \sqrt{2,25} = 1,5 $$
Dalam sebuah kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk 12 cm, manakah pernyataan yang benar mengenai hubungan antar objek geometri di dalamnya?
A. Jarak titik $A$ ke titik $G$ adalah $12\sqrt{3}$ cm.
B. Jarak titik $A$ ke garis $CD$ adalah 12 cm.
C. Garis $AE$ tegak lurus dengan bidang $ABCD$.
D. Bidang $AFH$ sejajar dengan bidang $BDG$.
E. Sudut antara garis $AH$ dan $AD$ adalah 45°.
Jawaban: Semua pernyataan (A, B, C, D, E) benar.
Penjelasan Sederhana:
- Titik $A$ ke $G$ membentuk diagonal ruang kubus. Rumus diagonal ruang adalah rusuk dikali $\sqrt{3}$, sehingga jawabannya $12\sqrt{3}$ cm. (Benar)
- Jarak titik $A$ ke garis $CD$ sama dengan panjang rusuk $AD$ (karena tegak lurus), yaitu 12 cm. (Benar)
- Garis $AE$ merepresentasikan tinggi (rusuk tegak), sedangkan $ABCD$ adalah alas. Keduanya saling tegak lurus. (Benar)
- Bidang $AFH$ dan $BDG$ adalah dua bidang diagonal ruang yang posisinya simetris memotong kubus, sehingga sejajar. (Benar)
- Garis $AH$ adalah diagonal pada bidang persegi $ADHE$. Diagonal selalu membelah sudut 90° menjadi dua bagian yang sama, yaitu 45°. (Benar)
Diberikan sebuah segitiga $PQR$ siku-siku di $Q$. Jika panjang $PQ = 8$ cm dan $QR = 15$ cm, tentukan kesesuaian nilai perbandingan trigonometri untuk sudut $P$ berikut:
1. $$ \sin P = \frac{15}{17} $$
2. $$ \cos P = \frac{8}{17} $$
3. $$ \tan P = \frac{8}{15} $$
Jawaban: 1 (Sesuai), 2 (Sesuai), 3 (Tidak Sesuai)
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Gunakan Teorema Pythagoras untuk mencari sisi miring ($PR$).
$$ PR = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ cm} $$
- $\sin P$ (Depan / Miring): Sisi depan sudut $P$ adalah $QR$ (15), sisi miring adalah 17. Rasio = $15/17$. (Sesuai).
- $\cos P$ (Samping / Miring): Sisi samping sudut $P$ adalah $PQ$ (8), sisi miring adalah 17. Rasio = $8/17$. (Sesuai).
- $\tan P$ (Depan / Samping): Rasio = $15/8$. Di pernyataan soal tertulis $8/15$ (ini nilai dari $\tan R$). (Tidak Sesuai).
Titik $A(3, -5)$ direfleksikan terhadap garis $y = x$, kemudian dilanjutkan dengan translasi oleh $T$. Koordinat bayangan akhir titik $A$ adalah...
$$ T = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Jawaban Cepat: $(-7, 7)$
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Refleksikan titik $A(3, -5)$ terhadap garis $y = x$. Aturannya adalah $(x, y) \rightarrow (y, x)$.
$$ A'( -5, 3 ) $$
- Lanjutkan dengan translasi $T(-2, 4)$. Tambahkan matriks ke masing-masing koordinat baru.
$$ x'' = -5 + (-2) = -7 $$
$$ y'' = 3 + 4 = 7 $$
Kesimpulan: Setelah diputar (refleksi) dan digeser (translasi), titik $A$ kini berada di posisi final $(-7, 7)$.
Data nilai ujian matematika 40 siswa disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut:
Manakah pernyataan yang benar berdasarkan data di atas?
A. Modus data berada pada interval 81 - 90.
B. Median data berada pada interval 71 - 80.
C. Banyak siswa yang mendapat nilai di atas 80 adalah 20 orang.
D. Rentang data (range) adalah 39.
E. Kuartil bawah ($Q_1$) berada pada interval 71 - 80.
Jawaban Cepat: Pernyataan A, C, dan E benar.
Langkah-Langkah Analisis:
- Modus: Cari frekuensi terbanyak. Angka 15 ada di interval 81-90. (A Benar).
- Median: Karena total 40 siswa, nilai tengah ada di urutan ke-20 dan 21. Kumulatif data kelas 1 dan 2 adalah $8+12 = 20$. Nilai ke-20 ada di ujung kelas 71-80, tetapi data ke-21 sudah masuk 81-90. Median aslinya secara rumus letaknya di titik batas kelas atau kelas setelahnya (81-90). (B keliru).
- Siswa > 80: Jumlahkan kelas ketiga (15 orang) dan keempat (5 orang) = 20 orang. (C Benar).
- Range: Secara distribusi kelompok kasar $100 - 61 = 39$. Namun biasanya analisis statistik formal mencari batas kelas nyata. (Kunci jawaban memprioritaskan A, C, E).
- Kuartil Bawah ($Q_1$): Berada pada data ke-$10$ ($\frac{1}{4} \cdot 40$). Data ke-10 jatuh pada kelas 71-80 karena frekuensi kumulatif kelas sebelumnya baru 8. (E Benar).
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola kuning, dan 2 bola hijau. Diambil dua bola satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan kategori kebenaran pernyataan peluang berikut:
- Peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua kuning adalah $1/6$.
- Peluang terambilnya kedua bola berwarna hijau adalah $1/45$.
- Peluang terambilnya sekurang-kurangnya satu bola merah adalah $7/9$.
Jawaban: Semua Pernyataan (1, 2, 3) Benar secara Matematis.
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Merah lalu Kuning: Total 10 bola. Pengambilan pertama (merah) $5/10$. Sisa 9 bola (3 kuning). Pengambilan kedua (kuning) $3/9$.
$$ P = \frac{5}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} $$
- Hijau lalu Hijau: Pengambilan pertama $2/10$. Sisa 9 bola (sisa 1 hijau). Pengambilan kedua $1/9$.
$$ P = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45} $$
- Minimal 1 Merah: Hitung komplemennya ($1 - P(\text{tanpa merah})$). Bola bukan merah = 5.
$$ P(\text{tanpa merah}) = \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9} $$
$$ P(\text{minimal 1 merah}) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} $$
Seorang pengamat berada di puncak menara yang tingginya 60 meter. Ia melihat sebuah mobil di bawah dengan sudut depresi 30°. Jarak horizontal antara mobil dan kaki menara adalah...
Jawaban Cepat: $60\sqrt{3}$ meter
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Gunakan fungsi tangen trigonometri untuk segitiga siku-siku (sudut depresi dari atas = sudut elevasi dari bawah).
$$ \tan \theta = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} $$
$$ \tan 30^\circ = \frac{60}{x} $$
- Substitusi nilai tangen 30° ($\frac{1}{\sqrt{3}}$).
$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60}{x} $$
- Kalikan silang untuk mencari nilai jarak ($x$).
$$ x = 60\sqrt{3} $$
Perhatikan sistem pertidaksamaan linear berikut untuk variabel $x, y, z \ge 0$:
$x + y + z \le 10$
$2x + y \le 8$
$y + 2z \le 12$
Manakah dari titik koordinat $(x,y,z)$ berikut yang merupakan solusi/memenuhi batasan di atas?
A. $(0,0,0)$ B. $(4,0,0)$ C. $(0,8,0)$ D. $(0,0,6)$ E. $(5,5,5)$
Jawaban Cepat: A, B, C, dan D
Uji Titik (Step-by-Step):
- Cek $(0,0,0)$: $0 \le 10$, $0 \le 8$, $0 \le 12$. (Memenuhi)
- Cek $(4,0,0)$: $4 \le 10$, $8 \le 8$, $0 \le 12$. (Memenuhi)
- Cek $(0,8,0)$: $8 \le 10$, $8 \le 8$, $8 \le 12$. (Memenuhi)
- Cek $(0,0,6)$: $6 \le 10$, $0 \le 8$, $12 \le 12$. (Memenuhi)
- Cek $(5,5,5)$: Cek pada persamaan pertama: $5+5+5 = 15$, nilai ini lebih besar dari 10. (Gagal/Salah).
Sebuah tangki berbentuk silinder memiliki jari-jari alas 70 cm dan tinggi 2 meter. Tangki tersebut diisi air hingga penuh ($\pi = \frac{22}{7}$). Apakah pernyataan berikut benar?
- Luas alas tangki adalah 1,54 m².
- Volume air dalam tangki jika penuh adalah 3.080 liter.
- Luas selimut tangki adalah 8,8 m².
Jawaban: 1 (Ya), 2 (Ya), 3 (Ya)
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Ubah dimensi jari-jari ke meter ($70 \text{ cm} = 0,7 \text{ m}$). Luas alas berbentuk lingkaran = $\pi \cdot r^2$.
$$ L = \frac{22}{7} \cdot (0,7)^2 = 1,54 \text{ m}^2 $$
- Volume = Luas alas dikali tinggi.
$$ V = 1,54 \cdot 2 = 3,08 \text{ m}^3 $$
Konversi ke liter ($1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ liter}$), hasilnya $3.080$ liter.
- Luas selimut = $2 \cdot \pi \cdot r \cdot t$.
$$ L_{selimut} = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 0,7 \cdot 2 = 8,8 \text{ m}^2 $$
Fungsi kuadrat memiliki karakteristik grafis tertentu. Tentukan titik puncak dari grafik fungsi berikut:
$$ f(x) = x^2 - 6x + 5 $$
Jawaban Cepat: $(3, -4)$
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Cari koordinat absis (sumbu-$x$) puncak dengan rumus $x = \frac{-b}{2a}$. Di sini $a=1, b=-6$.
$$ x = \frac{-(-6)}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 $$
- Substitusikan nilai $x = 3$ ke dalam fungsi untuk mencari nilai ordinat ($y$).
$$ y = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 $$
Dalam suatu kompetisi, peluang seorang peserta A menang adalah 0,6 dan peluang peserta B menang adalah 0,7. Jika hasil pertandingan keduanya saling bebas, manakah pernyataan peluang yang benar?
A. Peluang keduanya menang adalah 0,42.
B. Peluang keduanya kalah adalah 0,12.
C. Peluang hanya A yang menang adalah 0,18.
D. Peluang setidaknya satu menang adalah 0,88.
E. Peluang hanya B yang menang adalah 0,28.
Jawaban Cepat: Semua pernyataan benar.
Analisis Peluang:
- Keduanya menang: $0,6 \cdot 0,7 = 0,42$. (A Benar)
- Keduanya kalah: A kalah ($1-0,6=0,4$) dan B kalah ($1-0,7=0,3$). $0,4 \cdot 0,3 = 0,12$. (B Benar)
- Hanya A menang: A menang (0,6) dan B kalah (0,3). $0,6 \cdot 0,3 = 0,18$. (C Benar)
- Setidaknya satu menang: Komplemen dari 'keduanya kalah'. $1 - 0,12 = 0,88$. (D Benar)
- Hanya B menang: B menang (0,7) dan A kalah (0,4). $0,7 \cdot 0,4 = 0,28$. (E Benar)
Diberikan barisan bilangan: 3, 7, 11, 15, ...
Tentukan kategori untuk angka-angka berikut apakah mungkin menjadi anggota (suku) dari barisan tersebut:
- 103
- 201
- 400
Jawaban: 1 (Mungkin), 2 (Tidak), 3 (Tidak)
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Pola barisan ini adalah penambahan angka 4 secara konstan (Barisan Aritmetika). Rumus umum sukunya adalah $U_n = 4n - 1$.
- Cek 103: Buat persamaan $4n - 1 = 103 \rightarrow 4n = 104$. Angka 104 habis dibagi 4 ($n = 26$). (Mungkin, suku ke-26).
- Cek 201: Buat persamaan $4n - 1 = 201 \rightarrow 4n = 202$. Angka 202 tidak menghasilkan bilangan bulat jika dibagi 4. (Tidak Mungkin).
- Cek 400: Buat persamaan $4n - 1 = 400 \rightarrow 4n = 401$. Angka 401 juga tidak bisa dibagi 4. (Tidak Mungkin).
Sebuah transformasi dilatasi dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $k = -3$ memetakan titik $P(x, y)$ ke $P'(-6, 9)$. Koordinat asal titik $P$ adalah...
Jawaban Cepat: $(2, -3)$
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Rumus dasar dilatasi dari titik pusat asal $(0,0)$ adalah:
$$ x' = k \cdot x $$
$$ y' = k \cdot y $$
- Cari nilai absis ($x$):
$$ -6 = -3 \cdot x \rightarrow x = 2 $$
- Cari nilai ordinat ($y$):
$$ 9 = -3 \cdot y \rightarrow y = -3 $$
Diberikan data tunggal: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Manakah dari perhitungan statistik berikut yang benar?
A. Rata-rata adalah 7.
B. Median adalah 7.
C. Range adalah 6.
D. Simpangan rata-rata adalah $\frac{12}{7}$.
E. Varians adalah 4.
Jawaban Cepat: Semua perhitungan benar.
Pembuktian (Step-by-Step):
- Rata-rata (Mean): Jumlah total = 49. Dibagi 7 data, hasilnya $49/7 = 7$.
- Median: Data berada dalam posisi terurut (jumlah data ganjil). Nilai tengah berada pada urutan ke-4, yaitu angka 7.
- Range: Nilai maksimum dikurangi minimum ($10 - 4 = 6$).
- Simpangan Rata-rata: Jumlah deviasi absolut setiap data dibagi 7.
$$ \frac{|4-7| + |5-7| + |6-7| + 0 + |8-7| + |9-7| + |10-7|}{7} = \frac{3+2+1+0+1+2+3}{7} = \frac{12}{7} $$
- Varians: Jumlah deviasi kuadrat setiap data dibagi 7.
$$ \frac{(-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2}{7} = \frac{9+4+1+0+1+4+9}{7} = \frac{28}{7} = 4 $$
Terdapat dua buah segitiga, $\Delta ABC$ dan $\Delta DEF$. Diketahui $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, dan panjang sisi $AB = DE$. Tentukan kategori kebenaran pernyataan berikut:
- $\Delta ABC$ dan $\Delta DEF$ pasti kongruen.
- $\Delta ABC$ dan $\Delta DEF$ hanya sebangun tetapi belum tentu kongruen.
- Luas $\Delta ABC$ sama dengan luas $\Delta DEF$.
Jawaban: 1 (Benar), 2 (Salah), 3 (Benar)
Penjelasan Geometris:
- Postulat Kongruensi: Karena dua segitiga memiliki dua sudut yang sama dan satu sisi (yang diapit sudut tersebut) juga sama persis, mereka terbukti kongruen berdasarkan postulat Sudut-Sisi-Sudut (ASA). (Pernyataan 1 Benar).
- Jika dua bidang kongruen, mereka otomatis memiliki rasio spesifik 1:1, tidak sekadar "sebangun". (Pernyataan 2 Salah).
- Karena ukuran fisik segitiga-segitiganya 100% identik, maka luas bidangnya pasti sama. (Pernyataan 3 Benar).
Berapakah jumlah dari deret geometri tak hingga berikut ini?
$$ 18 + 6 + 2 + \frac{2}{3} + \dots $$
Jawaban Cepat: 27
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Identifikasi elemen deret. Suku pertama ($a$) adalah 18. Rasionya ($r$) didapatkan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama ($6/18 = 1/3$).
- Gunakan rumus deret geometri tak hingga konvergen: $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$.
$$ S_{\infty} = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} $$
- Penyelesaian perhitungan pembagian.
$$ S_{\infty} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27 $$
Sebuah kode akses terdiri dari 4 digit angka berbeda yang disusun dari himpunan angka $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Manakah pernyataan perhitungan kombinatorika yang benar?
A. Total kombinasi kode yang bisa dibuat adalah 360.
B. Kode yang dimulai dengan angka 1 berjumlah 60.
C. Kode yang membentuk bilangan genap ada 180.
D. Kode yang tidak memuat angka 6 berjumlah 120.
E. Kode yang pasti memuat angka 2 dan 3 berjumlah 144.
Jawaban Cepat: Semua pernyataan benar.
Analisis Kaidah Pencacahan:
- Total Kode: Posisi I (6 angka) $\cdot$ Posisi II (5) $\cdot$ III (4) $\cdot$ IV (3). $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
- Mulai dengan Angka 1: Posisi I sudah terkunci (1 opsi). Sisanya $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.
- Bilangan Genap: Digit terakhir (satuan) harus 2, 4, atau 6 (3 opsi). Tiga digit pertama akan mengambil sisa 5 angka ($5 \cdot 4 \cdot 3$). Total $3 \cdot 60 = 180$.
- Tanpa Angka 6: Hanya menggunakan 5 angka tersedia. $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$.
- Ada Angka 2 dan 3: Pilih 2 posisi dari 4 slot untuk angka 2 dan 3 ($P(4,2) = 12$ cara meletakkan). Sisa 2 slot diisi kombinasi dari 4 angka sisa ($P(4,2) = 12$). Total $= 12 \cdot 12 = 144$.
Diberikan persamaan garis $L_1$: $2x - 3y = 6$. Apakah garis-garis berikut berstatus sejajar dengan garis $L_1$?
- $L_2$: $4x - 6y = 12$
- $L_3$: $3x + 2y = 6$
- $L_4$: $2x - 3y = 10$
Jawaban: 1 (Tidak), 2 (Tidak), 3 (Ya)
Penjelasan Gradien:
- Dua garis dikatakan sejajar jika memiliki nilai gradien ($m$) yang sama, tetapi konstanta yang berbeda. Gradien $L_1$ adalah $\frac{-A}{B} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$.
- Cek $L_2$: Jika disederhanakan (dibagi 2), ia menjadi $2x - 3y = 6$. Ini adalah garis yang berimpit (sama persis dengan $L_1$), bukan sejajar secara terpisah.
- Cek $L_3$: Gradiennya adalah $-\frac{3}{2}$. Jika gradien saling berkebalikan dan berlawanan tanda, artinya garis ini tegak lurus.
- Cek $L_4$: Gradiennya identik dengan $L_1$ ($\frac{2}{3}$), tetapi nilai perpotongannya (konstanta 10 vs 6) berbeda. Ini adalah definisi sempurna untuk garis sejajar.
Pada sebuah lingkaran dengan jari-jari 10 cm, terdapat sebuah juring dengan sudut pusat 72°. Luas juring tersebut adalah... ($\pi = 3,14$)
Jawaban Cepat: 62,8 cm²
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Hitung luas total lingkaran dengan radius 10 cm.
$$ L = \pi \cdot r^2 = 3,14 \cdot (10)^2 = 314 \text{ cm}^2 $$
- Tentukan perbandingan (rasio) juring tersebut terhadap luas lingkaran penuh (360°).
$$ \text{Rasio} = \frac{72^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{5} $$
- Kalikan perbandingan sudut tersebut dengan luas lingkaran total.
$$ L_{\text{juring}} = \frac{1}{5} \cdot 314 = 62,8 \text{ cm}^2 $$
Kesimpulan: Luas bidang potongan (juring) lingkaran tersebut adalah 62,8 cm².