Materi TKA SMA Bagian 7

Panduan Persiapan TKA:
Eksplorasi Teori, Pembuktian Rumus, dan Bank Soal HOTS

1. IDENTITAS MATERI

Target Kelas: XII (Dua Belas) SMA/MA/SMK

Jenjang: Pendidikan Menengah Atas / Persiapan TKA (Tes Kompetensi Akademik)

Mata Pelajaran: Matematika Umum

Topik Utama: Persiapan TKA (Bilangan, Aljabar, Geometri, Trigonometri, Statistika, dan Peluang)

2. CAPAIAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan memiliki kemampuan berpikir kritis dan analitis (HOTS) dalam:

• Menguasai struktur bilangan real dan operasi eksponen/logaritma.
• Menyelesaikan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear multi-variabel serta optimasi pada program linear.
• Menganalisis karakteristik fungsi (linear, kuadrat, rasional), komposisi fungsi, dan invers fungsi secara analitis maupun grafis.
• Menerapkan konsep barisan dan deret dalam fenomena pertumbuhan, peluruhan, dan bunga majemuk.
• Memahami hubungan antarobjek geometri di ruang dimensi dua dan tiga, termasuk transformasi dan perbandingan trigonometri.
• Menginterpretasikan data statistik serta menghitung peluang kejadian majemuk untuk pengambilan keputusan.

3. MATERI PEMBELAJARAN

A. Bilangan dan Aljabar

Konsep bilangan real mencakup bilangan rasional dan irasional. Dalam TKA, fokus utama adalah pada Eksponen dan Logaritma. Aljabar mencakup SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) yang sering digunakan untuk memodelkan masalah ekonomi. Analogi sederhana: Bayangkan SPLTV seperti mencari harga satuan tiga jenis buah berbeda dari tiga nota belanja yang berbeda.

B. Fungsi, Komposisi, dan Invers

Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota domain tepat satu ke kodomain. Fungsi komposisi (f ∘ g)(x) adalah proses "berantai" di mana output fungsi g menjadi input bagi fungsi f. Invers fungsi f^-1(x) adalah proses "pembalikan" arah relasi tersebut.

C. Barisan dan Deret (Matematika Finansial)

Barisan aritmetika memiliki selisih (beda) yang tetap, sedangkan geometri memiliki perbandingan (rasio) yang tetap. Penerapan nyata:

• Pertumbuhan: Pertambahan penduduk (Geometri).
• Peluruhan: Penyusutan nilai aset atau peluruhan zat radioaktif.
• Bunga Majemuk: Perhitungan bunga bank di mana bunga periode sebelumnya ikut berbunga lagi.

D. Geometri dan Trigonometri

Fokus pada dimensi tiga (bangun ruang) adalah mencari jarak antara titik ke garis atau titik ke bidang menggunakan Teorema Pythagoras dan perbandingan trigonometri (sin, cos, tan). Transformasi geometri (translasi, rotasi, refleksi, dilatasi) dipelajari menggunakan pendekatan matriks untuk mempermudah perhitungan komposisi transformasi.

E. Statistika dan Peluang

Statistika tidak hanya menghitung rata-rata (mean), tetapi juga melihat persebaran data (simpangan baku). Peluang menggunakan aturan perkalian dan kombinasi untuk memprediksi kemungkinan kejadian di masa depan.

4. RUMUS MATEMATIKA / INTI

1. Eksponen & Logaritma:

a^m · aⁿ = a^m+n

^alog b + ^alog c = ^alog(b · c)

2. Barisan & Deret:

U_n = a + (n-1)b      (Aritmetika)

U_n = ar^n-1      (Geometri)

M_n = M₀(1 + i)ⁿ      (Bunga Majemuk)

3. Fungsi Komposisi & Invers:

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

(f ∘ g)^-1(x) = (g^-1 ∘ f^-1)(x)

4. Jarak dalam Ruang (Kubus sisi s):

Diagonal Sisi = s√2

Diagonal Ruang = s√3

5. Statistika (Mean Data Kelompok):

x̄ = Σ (f_i · x_i) / Σ f_i

5. PEMBUKTIAN RUMUS / KONSEP

Topik: Penurunan Rumus Jumlah Deret Aritmetika (S_n)

Diketahui: Barisan aritmetika a, a+b, a+2b, ..., U_n. Di mana U_n = a + (n-1)b.

Ditanya: Buktikan bahwa S_n = n/2 (a + U_n).

Pembuktian:

1. Tuliskan S_n secara maju:
   
   S_n = a + (a+b) + (a+2b) + ... + U_n      (Persamaan 1)
2. Tuliskan S_n secara mundur:
   
   S_n = U_n + (U_n-b) + (U_n-2b) + ... + a      (Persamaan 2)
3. Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
   
   2S_n = (a + U_n) + (a + U_n) + ... + (a + U_n)
4. Karena ada sebanyak n suku, maka:
   
   2S_n = n(a + U_n)
5. Maka:
   
   S_n = n/2 (a + U_n)    atau    S_n = n/2 (2a + (n-1)b)

Kesimpulan: Rumus S_n terbukti merupakan hasil penjumlahan pasangan suku awal dan akhir yang simetris.

6. CARA CEPAT / TRIK MENGERJAKAN SOAL

• Invers Fungsi Rasional: Jika f(x) = (ax+b)/(cx+d), maka f^-1(x) = (-dx+b)/(cx-a). Cukup tukar posisi a dan d serta beri tanda negatif.
• Jarak Titik ke Bidang (Kubus): Jarak titik sudut ke bidang diagonal yang tidak memuat titik tersebut pada kubus dengan rusuk a seringkali bernilai 1/3 a√3 atau 2/3 a√3.
• Aturan Cepat Integral (untuk Program Linear/Luas): Gunakan konsep determinan untuk mencari luas daerah antara dua kurva kuadrat:
  L = (D√D) / (6a²)
• Peluang: Jika soal menanyakan "paling sedikit satu", gunakan komplemen: P(A) = 1 - P(A^c).

7. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Soal 1 (Eksponen - Sedang)

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 3^2x-1 = √(27^x+1).

Pembahasan:

Diketahui: 3^2x-1 = (3³)^(x+1)/2.

Penyelesaian:

3^2x-1 = 3^3(x+1)/2

Karena basis sudah sama (3), maka pangkatnya harus sama:

2x - 1 = (3x + 3) / 2

2(2x - 1) = 3x + 3

4x - 2 = 3x + 3

x = 5

Jawaban: x = 5

Kenapa menggunakan cara ini? Karena untuk menyelesaikan persamaan eksponen, langkah pertama yang paling efektif adalah menyamakan basis.

Soal 2 (SPLTV - Sedang)

Harga 2 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp12.000. Harga 1 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp10.000. Berapakah selisih harga 1 buku dan 1 pensil?

Pembahasan:

Misal buku = x, pensil = y, penghapus = z.

(1) 2x + y + z = 12.000
(2) x + 2y + z = 10.000

Kurangi persamaan (1) dengan (2):

(2x - x) + (y - 2y) + (z - z) = 12.000 - 10.000

x - y = 2.000

Jawaban: Rp2.000

Kenapa menggunakan cara ini? Soal hanya menanyakan selisih (x-y), jadi eliminasi langsung tanpa mencari z jauh lebih cepat.

Soal 3 (Program Linear - HOTS)

Seorang penjahit memiliki 20m kain sutra dan 10m kain katun. Model A memerlukan 2m sutra dan 1m katun. Model B memerlukan 1m sutra dan 2m katun. Jika keuntungan Model A adalah Rp50.000 dan Model B Rp40.000, tentukan keuntungan maksimum.

Pembahasan:

Kendala:
2x + y ≤ 20
x + 2y ≤ 10

Fungsi Objektif: Z = 50.000x + 40.000y.

Titik potong kendala:
Eliminasi: 2x+y=20 dan 2x+4y=20 → 3y=0 (tidak mungkin untuk keuntungan max).

Periksa titik pojok:

Titik A (10,0) → Z = 50.000(10) + 0 = 500.000

Titik B (0,5) → Z = 0 + 40.000(5) = 200.000

Jawaban: Rp500.000

Kenapa menggunakan cara ini? Menggunakan metode titik pojok dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan.

Soal 4 (Komposisi Fungsi - Sulit)

Diketahui f(x) = 2x+1 dan (g ∘ f)(x) = 4x² + 10x + 5. Tentukan g(x-1).

Pembahasan:

g(2x+1) = 4x² + 10x + 5

Misal 2x+1 = t ⇒ x = (t-1)/2.

g(t) = 4((t-1)/2)² + 10((t-1)/2) + 5

g(t) = 4((t²-2t+1)/4) + 5(t-1) + 5

g(t) = t² - 2t + 1 + 5t - 5 + 5 = t² + 3t + 1

Maka:

g(x-1) = (x-1)² + 3(x-1) + 1

g(x-1) = x² - 2x + 1 + 3x - 3 + 1 = x² + x - 1

Jawaban: x² + x - 1

Soal 5 (Invers Fungsi - Sedang)

Jika f(x) = (3x-2)/(5x+8), tentukan f^-1(1).

Pembahasan:

Gunakan trik cepat:

f^-1(x) = (-8x-2)/(5x-3)

f^-1(1) = (-8(1)-2)/(5(1)-3) = -10 / 2 = -5

Jawaban: -5

Soal 6 (Barisan Aritmetika - Sedang)

Suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah 11 dan suku ke-8 adalah 31. Tentukan suku ke-20.

Pembahasan:

U₈ - U₃ = 5b ⇒ 31 - 11 = 20 ⇒ b = 4

U_20} = U₈ + 12b = 31 + 12(4) = 31 + 48 = 79

Jawaban: 79

Soal 7 (Bunga Majemuk - HOTS)

Uang sebesar Rp10.000.000 ditabung dengan bunga majemuk 10% per tahun. Berapa besar tabungan setelah 3 tahun?

Pembahasan:

M₃ = 10.000.000 (1 + 0,1)³ = 10.000.000 (1,1)³

M₃ = 10.000.000 (1,331) = 13.310.000

Jawaban: Rp13.310.000

Soal 8 (Geometri Ruang - HOTS)

Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, berapakah jarak titik A ke garis CE?

Pembahasan:

CE adalah diagonal ruang = 6√3.
Lihat segitiga CAE (siku-siku di A).
AE = 6, AC = 6√2.

Luas CAE = 1/2 · AE · AC = 1/2 · CE · d      (d = jarak A ke CE)

6 · 6√2 = 6√3 · d

d = 6√2 / √3 = 2√6 cm

Jawaban: 2√6 cm

Soal 9 (Transformasi Geometri - Sedang)

Titik A(2, -3) dirotasikan 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0). Tentukan koordinat bayangannya.

Pembahasan:

Matriks rotasi 90 derajat: [ [0, -1], [1, 0] ].

[x' ; y'] = [ [0, -1], [1, 0] ] * [2 ; -3] = [3 ; 2]

Jawaban: A'(3, 2)

Soal 10 (Trigonometri - Sulit)

Jika cos A = 4/5 (A sudut lancip), tentukan nilai sin 2A.

Pembahasan:

sin A = √(1 - cos² A) = √(1 - (4/5)²) = 3/5

sin 2A = 2 sin A cos A = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25

Jawaban: 24/25

Soal 11 (Statistika - Sedang)

Rata-rata nilai 10 siswa adalah 75. Jika ditambah nilai 5 siswa lain, rata-ratanya menjadi 80. Berapakah rata-rata nilai 5 siswa tersebut?

Pembahasan:

Total awal = 10 · 75 = 750

Total akhir = 15 · 80 = 1200

Total 5 siswa = 1200 - 750 = 450

Rata-rata 5 siswa = 450 / 5 = 90

Jawaban: 90

Soal 12 (Peluang - HOTS)

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Diambil 2 bola secara acak. Berapakah peluang terambilnya minimal 1 bola merah?

Pembahasan:

Gunakan komplemen: 1 - P(semua biru).

n(S) = C(8,2) = (8 · 7) / 2 = 28

n(semua biru) = C(3,2) = 3

P(min 1 merah) = 1 - 3/28 = 25/28

Jawaban: 25/28

Soal 13 (Kesebangunan - Sedang)

Sebuah pohon memiliki bayangan 8m, sedangkan tiang yang tingginya 2m memiliki bayangan 1m. Berapakah tinggi pohon?

Pembahasan:

Tinggi Pohon / Bayangan Pohon = Tinggi Tiang / Bayangan Tiang

T / 8 = 2 / 1 ⇒ T = 16

Jawaban: 16 m

Soal 14 (Aturan Pencacahan - Sulit)

Berapa banyak susunan kata berbeda yang dapat dibentuk dari kata "MATEMATIKA"?

Pembahasan:

Total huruf = 10. Huruf ganda: M=2, A=3, T=2.

P = 10! / (2! · 3! · 2!) = 3628800 / (2 · 6 · 2) = 151.200

Jawaban: 151.200 susunan

Soal 15 (Lingkaran - HOTS)

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik (3, -4).

Pembahasan:

Gunakan rumus x₁x + y₁y = r².

3x + (-4)y = 25 ⇒ 3x - 4y = 25

Jawaban: 3x - 4y = 25

Soal 16 (Deret Geometri Tak Hingga - Sedang)

Hitunglah 8 + 4 + 2 + 1 + ...

Pembahasan:

a = 8, r = 1/2.

S_∞ = a / (1 - r) = 8 / (1 - 0,5) = 16

Jawaban: 16

Soal 17 (Logaritma - Sulit)

Jika ²log 3 = a dan ³log 5 = b, nyatakan ¹⁵log 20 dalam a dan b.

Pembahasan:

¹⁵log 20 = ³log 20 / ³log 15 = ³log(2² · 5) / ³log(3 · 5)

= (2 · ³log 2 + ³log 5) / (1 + ³log 5)

Karena ³log 2 = 1/a dan ³log 5 = b, maka:

==> ((2/a) + b) / (1 + b) = (2 + ab) / (a(1 + b))

Jawaban: (ab + 2) / (a(b + 1))

Soal 18 (Matriks - Sedang)

Jika A = [ [2, 1], [4, 3] ], tentukan A^-1.

Pembahasan:

Det(A) = (2 · 3) - (1 · 4) = 6 - 4 = 2

A^-1 = 1/2 · [ [3, -1], [-4, 2] ] = [ [1,5, -0,5], [-2, 1] ]

Jawaban: [ [1,5, -0,5], [-2, 1] ]

Soal 19 (Pertidaksamaan Rasional - HOTS)

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x-2)/(x+3) ≤ 0.

Pembahasan:

Pembuat nol: x = 2 dan x = -3.
Uji daerah: x < -3 (positif), -3 < x ≤ 2 (negatif), x > 2 (positif).
Syarat penyebut: x ≠ -3.

Jawaban: -3 < x ≤ 2

Soal 20 (Fungsi Kuadrat - HOTS)

Tentukan nilai m agar grafik f(x) = x² - (m+3)x + (3m+1) menyinggung sumbu X.

Pembahasan:

Syarat menyinggung: D = 0.

(-(m+3))² - 4(1)(3m+1) = 0

m² + 6m + 9 - 12m - 4 = 0

m² - 6m + 5 = 0

(m-5)(m-1) = 0

Jawaban: m = 1 atau m = 5

8. FITUR LITERASI

Teks Bacaan:

Dalam dunia investasi, "The Power of Compounding" atau Kekuatan Bunga Majemuk disebut sebagai keajaiban dunia kedelapan. Albert Einstein menyatakan bahwa siapa yang memahaminya akan mendapatkannya, dan siapa yang tidak memahaminya akan membayarnya. Konsep ini menggunakan deret geometri di mana pertumbuhan nilai aset dihitung dari nilai akumulasi sebelumnya, bukan hanya dari modal awal.

---

Contoh Soal Literasi:
Berdasarkan teks di atas, jika seseorang berinvestasi Rp1.000.000 dengan bunga majemuk 10% per tahun, mengapa pada tahun ketiga pertambahannya lebih besar daripada tahun pertama?

Pembahasan:
Karena pada bunga majemuk, bunga di tahun kedua dihitung dari (Modal + Bunga tahun ke-1). Sehingga basis pengalinya semakin besar setiap tahun. Ini sesuai dengan prinsip U_n = ar^n-1 dalam deret geometri.

9. FITUR NUMERASI

Data Pengunjung Perpustakaan:

Hari	Jumlah Siswa
Senin	40
Selasa	55
Rabu	45
Kamis	60

Soal Numerasi:
Berapakah persentase kenaikan pengunjung dari hari Rabu ke Kamis?

Pembahasan:
Diketahui: Rabu = 45, Kamis = 60.
Penyelesaian:

Kenaikan = 60 - 45 = 15

Persentase = (15 / 45) × 100% = 1/3 × 100% = 33,33%

Jawaban: 33,33%

© 2026 Ujiannet-ID. Membangun Generasi Unggul Melalui Evaluasi Presisi.