20 Soal Olimpiade Matematika SMA Bagian 3 + Pembahasan Lengkap

 "Selamat datang di kumpulan soal bagian ketiga! Di sini, kita akan melihat matematika dari sisi yang lebih kreatif. Jangan takut kalau soalnya terlihat sedikit berbeda dari biasanya, karena kuncinya adalah mencoba. Mari kita bedah satu per satu pembahasannya agar trik-triknya makin nempel di kepala!"

SOAL No. 1

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan $x^2 - 7x + 10 = 0$, maka nilai dari $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ adalah...

A. $7/10$

B. $10/7$

C. $1/7$

D. $1/10$

E. $7$

Kunci: A

Pembahasan: 

Dari persamaan $x^2 - 7x + 10 = 0$, kita tahu (berdasarkan rumus Vieta) bahwa $x_1 + x_2 = 7$ dan $x_1 \cdot x_2 = 10$. Bentuk $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ bisa kita samakan penyebutnya menjadi $\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$. Jadi, hasilnya adalah $7/10$.

SOAL No. 2

Sisa pembagian $2^{2025}$ oleh 3 adalah...

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 5

Kunci: C

Pembahasan: 

Perhatikan polanya:

$2^1 \div 3$ sisa 2.

$2^2 \div 3$ sisa 1.

$2^3 \div 3$ sisa 2.

Pola sisanya adalah 2, 1, 2, 1, ... Jika pangkatnya ganjil, sisanya 2. Karena 2025 ganjil, maka sisanya adalah 2.

SOAL No. 3

Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah...

A. 1 cm

B. 1,5 cm

C. 2 cm

D. 2,5 cm

E. 3 cm

Kunci: A

Pembahasan: 

Rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku adalah $r = \frac{a+b-c}{2}$, di mana $c$ adalah sisi miring.

$r = \frac{3+4-5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ cm.

SOAL No. 4

Banyaknya cara menyusun 6 orang untuk duduk melingkar di sebuah meja makan adalah...

A. 720

B. 360

C. 120

D. 60

E. 24

Pembahasan: 

Ini menggunakan rumus permutasi siklis: $(n-1)!$.

Karena ada 6 orang, maka cara menyusunnya adalah $(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

SOAL No. 5

Jika $f(x) = 2x + 1$, maka nilai dari $f(f(f(1)))$ adalah...

A. 7

B. 15

C. 13

D. 9

E. 11

Kunci: B

Pembahasan: 

Kerjakan dari dalam:

1. $f(1) = 2(1) + 1 = 3$

2. $f(3) = 2(3) + 1 = 7$

3. $f(7) = 2(7) + 1 = 15$

SOAL No. 6

Berapakah jumlah dari 50 bilangan ganjil pertama (1 + 3 + 5 + ...)?

A. 1.000

B. 2.000

C. 2.500

D. 3.000

E. 5.000

Kunci: C

Pembahasan: 

Rumus jumlah $n$ bilangan ganjil pertama adalah $n^2$.

Karena kita mencari 50 bilangan pertama, maka $50^2 = 2.500$.

SOAL No. 7

Berapakah banyak faktor positif dari bilangan 100?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

E. 10

Kunci: D

Pembahasan: 

Faktorisasi prima dari 100 adalah $2^2 \times 5^2$.

Rumus jumlah faktor: tambahkan 1 pada masing-masing pangkat lalu kalikan.

$(2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9$.

(Faktor-faktornya: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100).

SOAL No. 8

Jika panjang diagonal sebuah persegi adalah $\sqrt{32}$ cm, maka luas persegi tersebut adalah...

A. 8 cm²

B. 16 cm²

C. 32 cm²

D. 64 cm²

E. 12 cm²

Kunci: B

Pembahasan: 

Rumus luas persegi jika diketahui diagonalnya ($d$) adalah $L = \frac{1}{2} d^2$.

$L = \frac{1}{2} (\sqrt{32})^2 = \frac{1}{2} \times 32 = 16$ cm².

SOAL No. 9

Dua buah dadu dilempar bersamaan. Peluang jumlah angka yang muncul adalah 7 adalah...

A. 1/6

B. 1/12

C. 1/36

D. 5/36

E. 7/36

Kunci: A

Pembahasan: 

Total kejadian = $6 \times 6 = 36$.

Kejadian berjumlah 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) $\rightarrow$ ada 6 kejadian.

Peluang = $6/36 = 1/6$.

SOAL No. 10

Jika $a + b = 10$ dan $a^2 + b^2 = 58$, maka nilai dari $ab$ adalah...

A. 20

B. 21

C. 22

D. 23

E. 24

Kunci: B

Pembahasan: 

Gunakan rumus $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

$10^2 = 58 + 2ab$

$100 = 58 + 2ab$

$42 = 2ab \rightarrow ab = 21$.

SOAL No. 11

Nilai $x$ yang memenuhi $3^{x+1} = 81$ adalah...

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

Kunci: C

Pembahasan: 

81 dapat diubah menjadi $3^4$.

Maka, $3^{x+1} = 3^4$.

$x + 1 = 4 \rightarrow x = 3$.

SOAL No. 12

FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari 48 dan 72 adalah...

A. 12

B. 18

C. 24

D. 36

E. 48

Kunci: C

Pembahasan: 

Faktor 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Faktor 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

Nilai terbesar yang sama adalah 24.

SOAL No. 13

Median dari data 5, 8, 3, 10, 2, 7, 8 adalah...

A. 5

B. 7

C. 8

D. 10

E. 3

Kunci: B

Pembahasan: 

Urutkan data: 2, 3, 5, 7, 8, 8, 10.

Karena jumlah data ada 7 (ganjil), median adalah data yang tepat di tengah, yaitu 7.

SOAL No. 14

Manakah di antara kelompok panjang sisi berikut yang tidak dapat membentuk segitiga?

A. 3, 4, 5

B. 5, 12, 13

C. 7, 8, 15

D. 10, 10, 10

E. 2, 3, 4

Kunci: C

Pembahasan: 

Syarat segitiga: jumlah dua sisi terpendek harus lebih besar dari sisi terpanjang ($a + b > c$).

Pada pilihan C: $7 + 8 = 15$. Karena 15 tidak lebih besar dari 15, maka tidak bisa jadi segitiga (hanya membentuk garis lurus).

SOAL No. 15

Banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata "COCO" adalah...

A. 24

B. 12

C. 6

D. 4

E. 2

Kunci: C

Pembahasan: 

Total huruf = 4. Huruf C ada 2, huruf O ada 2.

Cara menyusun = $\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{2 \times 2} = \frac{24}{4} = 6$.

(Susunannya: COCO, COOK, CCOO, OCOC, OCCO, OOCC).

SOAL No. 16

Himpunan penyelesaian dari $|x - 3| = 5$ adalah...

A. {8}

B. {-2}

C. {8, -2}

D. {8, 2}

E. {-8, 2}

Kunci: C

Pembahasan: 

Ada dua kemungkinan:

1. $x - 3 = 5 \rightarrow x = 8$

2. $x - 3 = -5 \rightarrow x = -2$

Jadi, jawabannya adalah {8, -2}.

SOAL No. 17

Berapakah besar sudut interior sebuah segi-8 beraturan (oktagon)?

A. 108°

B. 120°

C. 135°

D. 144°

E. 150°

Kunci: C

Pembahasan: 

Rumus sudut interior segi-n: $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$.

Untuk $n=8$: $\frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = \frac{6 \times 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ$.

SOAL No. 18

Digit terakhir (satuan) dari $3^{41}$ adalah...

A. 1

B. 3

C. 7

D. 9

E. 0

Kunci: B

Pembahasan: 

Lihat pola satuan pangkat 3:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 7$ (27)

$3^4 = 1$ (81)

Pola berulang setiap 4 kali (3, 9, 7, 1).

Bagi pangkatnya dengan 4: $41 \div 4 = 10$ sisa 1.

Sisa 1 berarti sama dengan pola urutan ke-1, yaitu 3.

SOAL No. 19

Sebuah kerucut memiliki jari-jari 7 cm dan tinggi 9 cm. Volumenya adalah... ($\pi = 22/7$)

A. 154 cm³

B. 462 cm³

C. 616 cm³

D. 1.386 cm³

E. 308 cm³

Kunci: B

Pembahasan: 

Rumus volume kerucut: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 t$.

$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 9$

$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 9$

$V = 22 \times 7 \times 3 = 154 \times 3 = 462$ cm³.

SOAL No. 20

Di dalam sebuah kotak terdapat 10 kaos kaki hitam dan 10 kaos kaki putih. Berapa minimal kaos kaki yang harus diambil agar kita pasti mendapatkan sepasang kaos kaki berwarna sama?

A. 2

B. 3

C. 11

D. 20

E. 21

Kunci: B

Pembahasan: 

Ini menggunakan prinsip laci (Pigeonhole Principle).

Jika kita mengambil 2, bisa saja 1 hitam dan 1 putih (belum sepasang).

Jika kita mengambil 3, kaos kaki ketiga pasti akan sama dengan salah satu dari dua kaos kaki pertama (hitam atau putih). Jadi minimal ambil 3.

Sudah paham teorinya? Jangan cuma dibaca, yuk buktikan kehebatanmu dengan mencoba Simulasi Ujian Online di bawah ini!

Simulasi Soal & Ujian Online

Pusat Latihan Soal Interaktif UjianNet-ID

📋 TATA TERTIB PESERTA:

• PASSWORD UJIAN: UjianNet
• Layar Penuh: Ujian wajib dalam mode Full Screen.
• Anti-Curang: Pindah tab, buka aplikasi lain, atau keluar Full Screen akan mengakibatkan ujian dihentikan otomatis.
• Waktu: Sistem akan Auto-Submit jika waktu habis.
• Hasil: Muncul otomatis setelah menekan tombol KIRIM.

Menghubungkan ke Server... 10s

Konfirmasi Akses

Apakah Anda sudah siap masuk ke ruang ujian online CBT?

Memuat Soal CBT...