20 Soal Latihan Olimpiade Matematika SMA Bagian 2 & Kunci Jawaban

Halo! Siap untuk lanjut asah otak lagi? Di bagian ini, kita akan masuk ke materi yang lebih menantang tapi tetap asyik untuk dikupas satu per satu. Ingat, kunci belajar soal olimpiade bukan cuma soal mencari jawaban benar, tapi tentang bagaimana cara kita berpikir untuk menemukan solusinya.

Kita akan bagi latihan kali ini ke dalam empat kelompok besar:

• Aljabar: Bermain dengan variabel dan persamaan.

• Teori Bilangan: Membongkar rahasia di balik angka-angka.

• Geometri: Memahami bentuk, luas, dan sudut.

• Kombinatorika: Belajar cara menghitung kemungkinan dengan cerdas.

Jangan buru-buru melihat pembahasan, ya! Coba kerjakan sebisa kamu dulu. Kalau mentok, baru intip penjelasannya untuk belajar trik barunya. Yuk, kita mulai!

Bagian 1: Aljabar

Soal 1

Jika $x + y = 5$ dan $xy = 6$, tentukan nilai dari $x^3 + y^3$.

Pembahasan:

Gunakan identitas aljabar: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Kita butuh $x^2 + y^2$. Cari dari $(x + y)^2$:

$x^2 + 2xy + y^2 = 5^2$

$x^2 + 2(6) + y^2 = 25$

$x^2 + 12 + y^2 = 25 \Rightarrow x^2 + y^2 = 13$.

Sekarang masukkan ke rumus awal:

$x^3 + y^3 = 5(13 - 6) = 5(7) = \mathbf{35}$.

Soal 2

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3$.

Pembahasan:

Ingat sifat logaritma:

$\log a + \log b = \log(ab)$.

$\log_2(x(x-2)) = 3$

Maka, $x(x-2) = 2^3$

$x^2 - 2x = 8$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x-4)(x+2) = 0$.

Akar-akarnya $x = 4$ atau $x = -2$. Namun, dalam logaritma, angka di dalam log harus positif. Jadi, hanya $\mathbf{x = 4}$ yang memenuhi.

Soal 3

Diberikan barisan aritmetika dengan suku ke-3 adalah 10 dan suku ke-7 adalah 22. Tentukan suku ke-10.

Pembahasan:

Selisih antar suku (beda) $= \frac{U_7 - U_3}{7 - 3} = \frac{22 - 10}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Untuk mencari $U_{10}$ dari $U_7$, kita butuh melangkah 3 kali lagi:

$U_{10} = U_7 + 3 \times \text{beda}$

$U_{10} = 22 + 3(3) = 22 + 9 = \mathbf{31}$.

Soal 4

Berapakah nilai dari 

$\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}$?

Pembahasan:

Misalkan nilainya adalah $x$. Maka:

$x = \sqrt{6 + x}$

Kuadratkan kedua sisi: $x^2 = 6 + x$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

Karena hasil akar harus positif, maka jawabannya adalah $\mathbf{3}$.

Soal 5

Jika $f(x-1) = 2x + 3$, tentukan nilai dari $f(5)$.

Pembahasan:

Agar di dalam kurung menjadi 5, maka $x - 1 = 5$, berarti $x = 6$.

Substitusi $x = 6$ ke dalam fungsi:

$f(5) = 2(6) + 3 = 12 + 3 = \mathbf{15}$.

Bagian 2: Teori Bilangan

Soal 6

Berapakah jumlah digit dari $10^{20} - 20$?

Pembahasan:

$10^{20}$ adalah angka 1 diikuti 20 angka nol.

$10^{20} - 20 = 999\dots99980$.

Karena ada 20 digit nol awalnya, setelah dikurangi 20, kita akan punya:

18 buah angka 9, satu angka 8, dan satu angka 0.

Jumlah digit 

$= (18 \times 9) + 8 + 0 = 162 + 8 = \mathbf{170}$.

Soal 7

Tentukan sisa pembagian 

$n = 1! + 2! + 3! + \dots + 2024!$ oleh 5.

Pembahasan:

Ingat bahwa $5! = 120$ (habis dibagi 5). Semua faktorial setelah $5!$ pasti mengandung angka 5, jadi pasti habis dibagi 5.

Kita cukup hitung sisa dari $1! + 2! + 3! + 4!$ saja.

$1 + 2 + 6 + 24 = 33$.

$33$ dibagi 5 sisanya adalah $\mathbf{3}$.

Soal 8

Berapa banyak angka nol berurutan di akhir dari $20!$ (20 faktorial)?

Pembahasan:

Angka nol di akhir berasal dari pasangan $2 \times 5$. Karena angka 2 sangat banyak, kita cukup hitung berapa banyak angka 5 di dalam $20!$.

Banyaknya angka 5 $= 20 \div 5 = 4$.

Jadi ada 4 angka nol di akhir.

Soal 9

Bilangan $4A32$ habis dibagi 9. Tentukan nilai $A$.

Pembahasan:

Ciri bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah semua digitnya habis dibagi 9.

$4 + A + 3 + 2 = 9 + A$.

Agar $9 + A$ habis dibagi 9, maka $A$ bisa jadi 0 atau 9. (Biasanya dalam soal olimpiade, jika tidak disebutkan $A \neq 0$, keduanya bisa benar, tapi jika angka pertama tidak boleh 0, di sini $A$ ada di tengah, jadi $A = \mathbf{0}$ atau $\mathbf{9}$).

Soal 10

Tentukan sisa pembagian $2^{100}$ oleh 7.

Pembahasan:

Cari pola sisa $2^n$ dibagi 7:

$2^1 = 2 \text{ (sisa 2)}$

$2^2 = 4 \text{ (sisa 4)}$

$2^3 = 8 \text{ (sisa 1)}$ -> Berulang setiap 3 kali.

Pangkatnya adalah 100. $100 \div 3 = 33$ sisa 1.

Sisa 1 berarti sama dengan $2^1$, yaitu $\mathbf{2}$.

Bagian 3: Geometri

Soal 11

Sebuah tabung memiliki jari-jari 7 cm dan tinggi 10 cm. Berapakah volumenya? (Gunakan $\pi = \frac{22}{7}$)

Pembahasan:

$V = \pi r^2 t$

$V = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 10$

$V = 22 \times 7 \times 10$

$V = \mathbf{1540 \text{ cm}^3}$

Soal 12

Diberikan titik $A(1, 2)$ dan $B(4, 6)$. Berapakah jarak antara titik $A$ dan $B$?

Pembahasan:

Gunakan rumus jarak: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

$\begin{aligned} d &= \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= \mathbf{5} \end{aligned}$

Soal 13

Sebuah belah ketupat memiliki diagonal 12 cm dan 16 cm. Berapakah kelilingnya?

Pembahasan:

Sisi belah ketupat ($s$) membentuk segitiga siku-siku dengan setengah diagonalnya (6 cm dan 8 cm).

$s = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \text{ cm}$.

Keliling $= 4 \times s = 4 \times 10 = \mathbf{40 \text{ cm}}$.

Soal 14

Jika luas sebuah segitiga sama sisi adalah $9\sqrt{3}$, berapakah panjang sisinya?

Pembahasan:

Rumus luas segitiga sama sisi: $L = \frac{s^2}{4} \sqrt{3}$

$9\sqrt{3} = \frac{s^2}{4} \sqrt{3}$

$9 = \frac{s^2}{4} \Rightarrow s^2 = 36 \Rightarrow s = \mathbf{6}$.

Soal 15

Berapakah besar sudut luar dari sebuah poligon beraturan dengan 10 sisi (dekagon)?

Pembahasan:

Jumlah sudut luar poligon apa pun selalu $360^\circ$.

Untuk poligon beraturan sisi $n$, satu sudut luarnya $= 360^\circ \div n$.

Sudut luar $= 360^\circ \div 10 = \mathbf{36^\circ}$.

Bagian 4: Kombinatorika

Soal 16

Ada 4 jalur bus dari kota A ke B, dan 3 jalur bus dari kota B ke C. Berapa banyak cara seseorang pergi dari A ke C melalui B dan kembali lagi ke A tanpa melewati jalur yang sama?

Pembahasan:

Pergi: $4 \times 3 = 12$ cara.

Pulang: Sisa jalur dari C ke B ada 2, sisa jalur dari B ke A ada 3.

$2 \times 3 = 6$ cara.

Total cara $= 12 \times 6 = \mathbf{72 \text{ cara}}$.

Soal 17

Dari kata "MATEMATIKA", berapa banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut?

Pembahasan:

Total huruf $= 10$.

Huruf yang sama: M (2), A (3), T (2).

Banyak susunan $= \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3.628 .800}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \mathbf{151.200 \text{ cara}}$.

Soal 18

Berapa banyak diagonal yang dimiliki oleh sebuah segi-8?

Pembahasan:

Rumus banyak diagonal segi-$n$: $\frac{n(n-3)}{2}$

Untuk $n=8$:

$\frac{8(8-3)}{2}$

$= \frac{8 \times 5}{2}$

$= \frac{40}{2}$

$= \mathbf{20 \text{ diagonal}}$

Soal 19

Tiga keping uang logam dilempar bersamaan. Berapakah peluang munculnya paling sedikit dua angka?

Pembahasan:

Total kejadian $= 2^3 = 8$.

Kejadian "paling sedikit 2 angka" (Bisa 2 angka atau 3 angka):

(A,A,G), (A,G,A), (G,A,A), (A,A,A) $\rightarrow$ ada 4 kejadian.

Peluang $= \frac{4}{8} = \mathbf{\frac{1}{2}}$.

Soal 20

Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola merah dan 3 bola kuning. Diambil 2 bola sekaligus. Berapa banyak cara mengambil 1 merah dan 1 kuning?

Pembahasan:

Cara ambil 1 merah dari 5: $C(5,1) = 5$.

Cara ambil 1 kuning dari 3: $C(3,1) = 3$.

Total cara $= 5 \times 3 = \mathbf{15 \text{ cara}}$.

Sudah paham teorinya? Jangan cuma dibaca, yuk buktikan kehebatanmu dengan mencoba Simulasi Ujian Online di bawah ini!

Simulasi Soal & Ujian Online

Pusat Latihan Soal Interaktif UjianNet-ID

📋 TATA TERTIB PESERTA:

• PASSWORD UJIAN: UjianNet
• Layar Penuh: Ujian wajib dalam mode Full Screen.
• Anti-Curang: Pindah tab, buka aplikasi lain, atau keluar Full Screen akan mengakibatkan ujian dihentikan otomatis.
• Waktu: Sistem akan Auto-Submit jika waktu habis.
• Hasil: Muncul otomatis setelah menekan tombol KIRIM.

Menghubungkan ke Server... 10s

Konfirmasi Akses

Apakah Anda sudah siap masuk ke ruang ujian online CBT?

Memuat Soal CBT...