📝 Soal 1 (Sifat Keterbagian & Modulo)
Tentukan dua angka terakhir dari bilangan $7^{2026}$.
💡 Pembahasan:
• Langkah 1:
Memahami esensi pertanyaan. Mencari "dua angka terakhir" dari suatu bilangan sama artinya dengan mencari sisa pembagian bilangan tersebut oleh 100, atau menyelesaikannya dengan bentuk aritmatika modulo: $7^{2026} \pmod{100}$.
• Langkah 2:
Menemukan pola sisa pembagian dari perpangkatan 7 terhadap 100.
o $7^1 = 7 \equiv 7 \pmod{100}$
o $7^2 = 49 \equiv 49 \pmod{100}$
o $7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{100}$
o $7^4 = 2401 \equiv 1 \pmod{100}$
• Langkah 3:
Memanfaatkan sifat periodik. Karena $7^4$ menghasilkan sisa 1, maka sisa pembagian ini akan berulang setiap kelipatan pangkat 4 (memiliki periode 4).
• Langkah 4:
Membagi besar pangkat dengan nilai periode. Kita bagi eksponen 2026 dengan 4:
$2026 = 4 \times 506 + 2$
Dari pembagian ini, kita mendapatkan sisa pangkat yaitu 2.
• Langkah 5:
Menghitung sisa akhir menggunakan hukum sisa.
$$7^{2026} = (7^4)^{506} \times 7^2 \equiv (1)^{506} \times 49 \equiv 49 \pmod{100}$$
• Jawaban Akhir:
Dua angka terakhir dari $7^{2026}$ adalah 49.
📝 Soal 2 (FPB & KPK)
Diketahui dua bilangan bulat positif $a$ dan $b$ memenuhi persamaan $\text{FPB}(a, b) + \text{KPK}(a, b) = a + b + 12$. Jika nilai $a = 14$, tentukan semua nilai $b$ yang memenuhi.
💡 Pembahasan:
• Langkah 1:
Memisalkan komponen FPB. Misalkan $\text{FPB}(a, b) = d$. Berdasarkan definisi FPB, kita bisa menuliskan $a = dx$ dan $b = dy$ dengan syarat $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat yang saling prima ($\text{FPB}(x, y) = 1$).
Hubungan ini juga menghasilkan nilai $\text{KPK}(a, b) = dxy$.
• Langkah 2:
Substitusi permisalan ke dalam persamaan utama.
$$d + dxy = dx + dy + 12$$
• Langkah 3:
Melakukan faktorisasi aljabar. Kelompokkan semua suku berpeubah ke ruas kiri:
$dxy - dx - dy + d = 12$
$\implies d(xy - x - y + 1) = 12$
$\implies d(x - 1)(y - 1) = 12$
• Langkah 4:
Memanfaatkan informasi nilai $a$. Karena $a = dx = 14$, maka $d$ wajib berupa faktor bulat positif dari 14.
Kemungkinan nilai $d$ adalah $\{1, 2, 7, 14\}$.
• Langkah 5:
Menguji nilai $d$ ke persamaan faktorisasi untuk mencari nilai $x$ dan $y$ yang valid:
o Jika kita ambil $d = 2$,
maka nilai $x = \frac{14}{2} = 7$.
o Substitusikan nilai $d=2$ dan $x=7$ ke persamaan $d(x - 1)(y - 1) = 12$:
$2 \times (7 - 1) \times (y - 1) = 12$
$\implies 2 \times 6 \times (y - 1) = 12$
$\implies 12(y - 1) = 12$
$\implies y - 1 = 1$
$\implies y = 2$
o Periksa syarat saling prima:
$\text{FPB}(x, y)$
$= \text{FPB}(7, 2) = 1$ (Memenuhi syarat).
• Langkah 6:
Menghitung nilai $b$ sesungguhnya.
$b = dy = 2 \times 2 = 4$
• Jawaban Akhir: Nilai $b$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah 4.
📝 Soal 3 (Sistem Bilangan Bulat)
Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ yang memenuhi persamaan:
$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{6}$
💡 Pembahasan:
• Langkah 1:
Menghilangkan bentuk pecahan. Kalikan seluruh ruas persamaan dengan bentuk penyebutnya yaitu $6mn$:
$6n + 6m = mn$
$\implies mn - 6m - 6n = 0$
• Langkah 2:
Menerapkan Teknik Pemfaktoran Simon. Tambahkan bilangan 36 di kedua ruas agar sisi kiri dapat diubah menjadi operasi perkalian dua faktor linear:
$mn - 6m - 6n + 36 = 36$
$\implies (m - 6)(n - 6) = 36$
• Langkah 3:
Menganalisis sifat nilai faktor. Karena nilai $m$ dan $n$ harus positif dan dari soal terlihat $\frac{1}{m} < \frac{1}{6}$ (yang mengindikasikan $m > 6$), maka bentuk $(m-6)$ dan $(n-6)$ haruslah pasangan faktor bulat positif dari bilangan 36.
• Langkah 4:
Mendaftar seluruh faktor positif dari 36. Bilangan 36 memiliki total 9 faktor positif, yaitu: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, dan 36.
• Langkah 5:
Menentukan banyaknya pasangan. Karena setiap faktor positif dari 36 secara otomatis menghasilkan tepat satu pasangan nilai $(m, n)$ yang unik (contoh: jika $m-6 = 1$ dan $n-6 = 36$, maka $m=7$ dan $n=42$), maka total pasangan ditentukan oleh banyaknya faktor tersebut.
• Jawaban Akhir:
Banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(m, n)$ yang memenuhi adalah 9.
Soal 4 (Bilangan Pecahan & Deret Teleskopik)
Hitunglah nilai dari jumlah berantai berikut:
$$S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2025 \times 2026}$$
💡 Pembahasan:
• Langkah 1:
Mengamati karakteristik deret. Setiap suku pada deret tersebut mengikuti pola pecahan umum $\frac{1}{k(k+1)}$.
• Langkah 2:
Memecah komponen pecahan (Dekomposisi Pecahan Parsial). Setiap bentuk umum tersebut bisa dimanipulasi menjadi pengurangan dua pecahan yang lebih sederhana:
$\frac{1}{k(k+1)}$
$= \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$
• Langkah 3:
Menuliskan kembali deret $S$ menggunakan struktur pecahan baru yang telah dipecah:
$S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026}\right)$
• Langkah 4:
Mengeliminasi suku yang saling meniadakan (Metode Teleskopik). Perhatikan bahwa nilai $-\frac{1}{2}$ akan saling menghilangkan dengan $+\frac{1}{2}$, nilai $-\frac{1}{3}$ dengan $+\frac{1}{3}$, dan begitu seterusnya hingga menyisakan suku pertama dan suku paling terakhir saja:
$S = 1 - \frac{1}{2026}$
• Langkah 5:
Menyederhanakan hasil pengurangan akhir:
$S = \frac{2026}{2026} - \frac{1}{2026}$
$= \frac{2025}{2026}$
• Jawaban Akhir:
Nilai dari penjumlahan berantai tersebut adalah $\frac{2025}{2026}$.